Кеңістіктегі қисық сызықты координаттар

V мен V^’ аймақтары нүктелерінің арасында бір мәнді және үзіліссіз сәйкестік бар болсын. Сонымен бірге тура сәйкестік

(8.10)

формулаларымен анықталып, кері сәйкестік

9-сурет

(8.11)

формуларымен анықталсын. (8.10) және (8.11) функцияларының өздері де, бірінші ретті дербес туындылары да үзіліссіз деп жориық. Сонда үзіліссіз якобиандар мен бар болады.

=

J – (8.10) функциялардың якобианы деп аталады.

2) Кеңістіктегі цилиндрлік координаттар. Декарттық координаттар жүйесінде нүктесі беріліп, оның Оху жазықтығындағы проекциясы М₁ нүктесі болсын. М нүктесі оның аппликатасы z және М₁ өзінің полярлық кординаттары мен арқылы анықталса, онда шамалары М нүктесінің цилиндрлік координаттары болады. М нүктесінің декарттық және цилиндрлік координаттарының арасындағы байланыс мына формулалармен анықталады (10-сурет): x,y,z координаттарын координаталарымен ауыстыру якобианы: болады.Сондықтан 3 еселі интегралда айнымалы ауыстыру

10-сурет.

3) Сфералық координаттар. Оxyz кеңістігінде М нүктесінің орнын:

а) О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтық ;

б) ОМ кесіндісі мен Оz өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш ;

в) ОМ кесіндінің Оху жазықтығындағы проекциясы ОМ₁ мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш арқылы анықтасақ, онда осы шамалары М нүктесінің сфералық координаттары болады. М нүктесінің декарттық және сфералық координаттар арасындағы байланыс мына формулар арқылы анықталады (суретке қара):

11-сурет

Декарттық координаттарды сфералық координаттарға ауыстыру якобианы былайша анықталады:

.

14. Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.

Бірінші текті қисық сызықты интеграл. Үзіліссіз функциясының бөлікті – тегіс L қисығы бойынша бірінші ретті қисық сызықты интегралы деп мына шекті айтады: (1)мұндағы кез келген тәсілмен қисықты бөлгендегі бөлікшенің (доғаның) ұзындығы, бөлікшенің кез – келген нүктесі, dl доғаның дифференциалы. Анықтамадан тікелей

(2) теңдіктері шығады. Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу анықталған интегралды есептеуге келтіріледі. Егер қисық параметрлік түрде берілсе және функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

(3). Егер қисық теңдеуімен берілсе және функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда (4). Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (5)

Кеңістіктегі тегіс қисық параметрлік теңдеулермен берілсе, әрі функциялары кесіндісінде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (6)

(1) теңдік жуықтап есептеулерде, ал (2) доғаның ұзындығын есептеуде қолданылады. Бірінші текті қисық сызықты интегралдар үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орындалады.

Екінші текті жалпы түрдегі қисық сызықты интеграл. есептеу. Бағытталған қисық бойынша екінші текті интегралдар , немесе жалпы түрінде белгіленеді. Олар анықталған интегралдарға келтіру жолымен есептеледі. Мұнда қисықтың бағыты өзгерсе, интегралдың мәні қарама-қарсы таңбға өзгереді, яғни

және функциялары - қисықта үзіліссіз функциялар.Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық параметрлік теңдеулермен берілсе және туындылар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

Кеңістіктегі тегіс қисық параметр лік теңдеулермен берілсе онда мына формула орындалады. Мұндағы функциялары қисықта үзіліссіз функциялар. Екінші текті қисық сызықты интеграл үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орынды.