Краткая теория. Лабораторная задача QM-1

Лабораторная задача QM-1

Свободное движение частицы

Краткая теория.

В классической механике свободное движение вдоль оси Х описывается

уравнением (1.1)

х = х ₀ + V₀ t, (1.1)

т. е. свободная частица движется равномерно и прямолинейно со скорос-

тью V₀. В квантовой механике для описания одномерного движения сво-

бодной частицы следует решить уравнение Шредингера

(1.2)

с начальным условием

Y(х, t=0) = j₀ (x).

Для определенности в качестве начального условия выберем волновой

пакет гауссовской формы

j₀(х) = (a ) ^0,5 exp { } (1.3)

Решение (1.2) ищется в виде разложения в интеграл Фурье:

Y(x, t) = òY_k(t) e^ikx dk (1.4)

Подставив (1.4) в (1.2), получим уравнение для Фурье-компоненты

Y_к (t):

(1.5)

Интегрируя (1.5), получим

Y_к (t) = C_k exp (- Et), (1.6)

где Е = , а С_к – постоянная интегрирования, определяемая из

начальных условий.

С_к = (1.7)

Волновое число k связано с импульсом частицы p: p= ħk (формула

де Бройля) и соответственно p₀= ħk₀. Подставив (1.6) и (1.7) в (1.4),

можно получить волновую функцию свободно движущейся частицы и рассчитать плотность вероятности обнаружения частицы в точке прост-

ранства с координатой х в виде:

ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|² = (2πD_x(t))^0,5ехр{- }, (1.8)

где - среднее значение координаты частицы,

- дисперсия.

Любопытно, что " в среднем " квантовая частица движется так же, как клас-сическая материальная точка массы m с импульсом p₀=ћk₀ (сравните фор-

мулу среднего значения координаты квановой частицы с формулой (1.1)).

Однако, в отличие от классического случая квантовая частица не имеет опр-

еделенного значения координаты: она как бы " размазана" около точки .

При этом волновой пакет расплывается с течением времени: дисперсия D_x(t)

увеличивается пропорционально t². Как видно из формулы дисперсии, чем меньше область начальной локализации частицы, задаваемая полушириной

а гауссова пакета, тем быстрее происходит ее расплывание. Исходя из формулы дисперсии, характерное время расплывания τ можно оценить по формуле:

τ = (1.9)