Плотность потока вероятности

Движению микрочастицы соответствует перераспределение плотности вероятности |ψ|² в

пространстве. Вероятность как бы перетекает из одних мест в другие. Движение частиц в пространстве характеризуется с помощью специальной величины — плотности потока вероятности, которую можно найти, опираясь на основное уравнение квантовой механики.

Определим, как изменяется величина ω=|ψ|² с течением времени:

(3.9)

Из уравнения Шредингера следует выражение для производной:

Выполняя операцию комплексного сопряжения, имеем

Подстановка производных

в формулу (3.9) приводит к

Выражению

Легко проверить, что справедливо тождество

Поэтому формула (3.10) может быть представлена в виде

, (3.11)

где

(З.12)

Эта величина и есть вектор плотности потока вероятности, так как

выражение (3.11) совпадает по форме с законом непрерывности

тока (см. ч. III, (1.6)).

Смысл названия становится ясным, если проинтегрировать уравнение (3.11) по некоторому объему V и применить теорему Гаусса.

С одной стороны,

а с другой

Получаем равенство

. (3.13)

Отсюда следует, что убыль вероятности нахождения частицы в объеме V равна потоку вектора / через поверхность, ограничивающую объем.

В физике уравнения типа (3.11) выражают закон сохранения какой-нибудь величины. В данном случае речь идет о вероятности.

В силу условия нормировки количество вероятности во всем пространстве сохраняется, вероятность лишь может перераспределяться между отдельными областями.