И собственные значения

Собственная функция оператора определяется уравнению

, (2.8)

– собственное значение оператора. Т.е. под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат .

Спектр оператора – это множество его собственных значений .

Если счетное, то спектр дискретный.

Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k- кратно вырожден.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть – собственная функция , тогда

.

Действуем оператором на обе стороны равенства

.

Учитываем коммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно, – собственная функция , пропорциональная :

.

В результате – собственная функция с собственным значением .

Оператор координаты. Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда

Верхнее равенство записано по определению оператора координаты, нижнее – по определению собственной функции. В результате

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Функция равна нулю во всех точках, кроме , x ₀ – любое вещественное число, спектр x ₀ непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния, что оправдывает выбор формы оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Откуда , тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x ₀ оси x:

. (2.9)

Оператор импульса. Уравнение на собственную функцию дает

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающей движение частицы с постоянным импульсом. Это оправдывает выбор формы оператора импульса. Ограниченность вероятности |Ψ _р (x)|² при любых x требует вещественности р, в результате спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

дает

.

Используя

,

находим . Тогда собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p вдоль оси x, равна

. (2.10)