Глава 38. Волны амплитуды вероятности

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ВОЛНОВОЙ И КОРПУСКУЛЯРНОЙ ТОЧКАМИ ЗРЕНИЯ

Волны амплитуды вероятности

Измерение положения и импульса

Дифракция на кристалле

Размер атома

Уровни энергии

§ 6. Немного философии

Волны амплитуды вероятности

В этой главе мы с вами обсудим соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения. Из предыдущей главы мы уже знаем, что ни та, ни другая неверны. Обычно мы всегда старались формулировать понятия аккуратно или по крайней мере, достаточно точно, чтобы при дальнейшем изучении их не пришлось бы менять. Разрешалось их расширять, обобщать, но уже никак не менять! Но как только мы пытаемся говорить об электроне как волне или об элект­роне как частице, то любая из этих точек зре­ния рано или поздно меняется, ведь обе они приблизительны. Поэтому все, что мы изучим в этой главе, в каком-то смысле неправильно; будут высказаны некие полуинтуитивные со­ображения, которым со временем предстоит уточняться, и кое-что придется слегка изме­нить, когда мы их уточним с помощью кванто­вой механики. Причина в том, что, не собираясь сейчас штудировать квантовую механику по всем правилам, мы хотим получить, по край­ней мере, представление о характере эффектов, которые мы там обнаружим. Да и к тому же весь наш опыт относится либо к волнам, либо к частицам, и поэтому весьма удобно исполь­зовать то те, то другие представления, чтобы добиться некоторого понимания того, что про­изойдет в определенных обстоятельствах, пока мы еще не знаем всей математики квантовомеханических амплитуд. По мере нашего продвиже­ния вперед мы будем стараться прояснять самые слабые места. Впрочем, многие из этих мест почти верны, все дело просто в толковании.

Прежде всего, мы уже знаем, что новый, выдвигаемый кван­товой механикой способ изображать мир — новая система ми­ра — состоит в том, чтобы задавать амплитуду любого события, которое может случиться. Если событие состоит в регистрации частицы, то можно задать амплитуду обнаружения этой части­цы в тех или иных местах и в то или иное время. Вероятность обнаружить частицу тогда будет пропорциональна квадрату абсолютной величины амплитуды. Вообще говоря, вероятность обнаружить частицу в каком-то месте и в какое-то время ме­няется в зависимости от места и от времени.

В частном случае амплитуда может изменяться синусои­дально в пространстве и времени по закону exp[i(wt-k•r)] (не забывайте, что амплитуда — число комплексное, а не дей­ствительное); тогда в нее входит определенная частота w и определенный волновой вектор k (величина k=|k| называется волновым числом). Это отвечает той предельной классической ситуации, когда можно считать, что имеется частица с извест­ной энергией Е, которая связана с частотой соотношением

(38.1)

и с известным импульсом р, связанным с волновым вектором формулой

(38.2)

Это означает, что понятие частицы ограниченно. Само понятие частицы, понятие ее положения, ее импульса и т. д., которым мы так часто пользуемся, в некотором смысле не является удовлетворительным. Например, когда амплитуда, относящаяся к событию обнаружения частицы в том или ином месте, дается функцией exp[i(wt-k•r)], равной по абсолютной величине единице, то это значит, что вероятность обнаружить частицу одинакова для любой точки. Получается, что тогда мы просто не знаем, где она находится. Она может оказаться где угодно, ее положение в высшей 'степени неопределенно.

Когда же положение частицы более или менее известно, когда оно может быть предсказано довольно точно, то вероят­ность того или иного ее местоположения должна быть отлична от нуля в определенной области, имеющей, скажем, длину Dx. Вне этой области вероятность равна нулю. Вероятность — это квадрат абсолютной величины амплитуды. Когда квадрат абсолютной величины равен нулю, то и амплитуда равна нулю.

Фиг. 38.1. Волновой пакет длиной Dx.

Выходит, что амплитуда описывает цуг волн протяженностью Dx (фиг. 38.1), а длине волны (расстоянию между горбами волн) в цуге волн соответствует некоторое значение импульса час­тицы.

Здесь мы сталкиваемся со странным и в то же время очень простым явлением, никак непосредственно с квантовой меха­никой не связанным. Оно известно всем, кто занимался волна­ми, даже не зная квантовой механики, а именно: нельзя одно­значно определить длину волны для короткого цуга волн. У такого цуга нет определенной длины волн; в волновом числе имеется неопределенность, связанная с конечной длиной цуга, а значит, и неопределенность в импульсе.