Дифракция на непрозрачном экране

Рассмотрим сейчас весьма интересное явление. Пусть имеет­ся непрозрачный лист с отверстиями, и по одну сторону от него расположен источник света. Нас интересует, какое изображение возникнет на экране по другую сторону листа. Каждый скажет, что свет пройдет через отверстия и создаст на экране какое-то изображение. Оказывается, что это изображение можно полу­чить с хорошей степенью точности, если предположить, что источники света равномерно распределены по ширине отверстий, а фазы источников точно такие, как если бы непрозрачного листа вовсе не было. Источников в отверстиях на самом деле, конечно, нет; во всяком случае, это как раз то место, где их наверняка не может быть. Тем не менее правильная дифракционная кар­тина получается, если считать, что источники расположены именно в отверстиях; факт довольно странный. Позже мы объяс­ним, почему такое предположение правильно, а пока примем его на веру.

В теории дифракции есть один род дифракционных явлений, который стоит кратко обсудить. Речь идет о дифракции на не­прозрачных экранах. Обычно в элементарных курсах о них го­ворят гораздо позже, так как для их объяснения нужно исполь­зовать довольно сложные формулы суммирования малых векторов. В остальном эти явления не отличаются от уже рас­смотренных нами. Все интерференционные явления по сущест­ву одинаковы; в них не входят сколько-нибудь сложные понятия, только условия возникновения могут быть более сложными, и тогда векторы поля труднее складывать, вот и все.

Предположим, что свет приходит из бесконечности, попадает на предмет и отбрасывает от него тень. На фиг. 30.7 изображен экран, на который свет отбрасывает тень от предмета АВ, при­чем источник света удален на расстояние, много большее длины волны. Казалось бы, вне тени интенсивность света максимальна, а внутри должна быть полная темнота. На самом же деле, если откладывать интенсивность как функцию расстояния до края тени, интенсивность будет сначала расти, а затем начнет спа­дать, колеблясь самым прихотливым образом вблизи края тени (фиг. 30.8). Посмотрим, отчего это происходит. Для объяснения воспользуемся недоказанной нами теоремой, что вместо истинной картины опыта можно ввести эффективные источники, равно­мерно распределенные вне объекта картины опыта можно ввести эффективные источники, равно­мерно распределенные вне объекта.

Фиг. 30.7. Далекий источник отбрасывает тень от непрозрач­ного предмета на экран.

Представим себе эти эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антенн и найдем интенсив­ность в некоторой точке Р. Это очень похоже на то, чем мы за­нимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не на бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерферирующих лучей на конечном расстоя­нии, а не на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антенны. Сначала возьмем антенну в точке D, прямо напротив Р. Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту h, лучу потребуется больше времени, чтобы попасть в точку Р (амплитуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница эта очень мала, поскольку расстояние все равно велико, и гораздо менее важна, чем изменение фазы излучения). Далее, разность EP-DP равна h²/2s, т. е. разность фаз пропорциональна ква­драту удаления от точки D, тогда как раньше у нас s было бес­конечно и разность фаз была линейно связана с /г. Когда фазы за­висят от h линейно, каждый вектор повернут относительно пре­дыдущего на постоянный угол. Теперь же мы должны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы при условии, что образуемый ими угол с осью абсцисс растет с увеличением длины кривой не линейным, а квадратичным образом. Явный вид кри­вой находится с помощью довольно сложных математических методов, но мы всегда можем построить эту кривую, просто откладывая векторы под требуемым углом. В конечном счете мы получаем замечательную кривую (называемую спиралью Корню), изображенную на фиг. 30.8. Как ею пользоваться? Р. Пусть требуется определить интенсивность, скажем, в точке

Сложим волны с разными фазами от точки D вверх до беско­нечности и вниз от D до точки В _р. Таким образом, нужно от­ложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с точки В_р на фиг. 30.8.

Фиг. 30.9, Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический край menu находится в точке х₀.

Весь вклад от области над В_р дается спи­ральной кривой. Если бы суммирование заканчивалось в не­которой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от В_р до этой точки; в нашем случае суммирование ведется до бесконечности, так что искомая амплитуда есть вектор В_рx. Точка на кривой, соответствующая точке В_р на предмете, за­висит от положения точки Р, потому что точка D кривой (точка перегиба) всегда относится к выбранной точке Р. Следова­тельно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор В_р¥ имеет многочисленные максимумы и минимумы (фиг. 30.9).

Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от Р, то нам понадобится только верхний конец спиральной кривой. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет не D, a B_Q, и, следовательно, книзу от Р интенсивность должна непрерывно падать при удалении Q в область тени.

Есть одна величина, которую можно легко вычислить сразу и таким образом убедиться, что мы здесь что-то понимаем,— это интенсивность в точке, лежащей прямо против края. Эта интенсивность равна ¹/₄ от интенсивности падающего света. Причина: для точки, лежащей против края предмета (когда В_р совпадает с D на фиг. 30.8), получается половина кривой в от­личие от целой кривой, которая была бы получена, если бы точки лежали достаточно далеко в освещенной области. Если точка R расположена достаточно высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна половине этого век­тора; следовательно, отношение интенсивностей получается равным ¹/₄.

В этой главе мы вычисляли интенсивность в разных направ­лениях при различном расположении источников. В заключение выведем формулу, которая нам понадобится в следующей гла­ве, посвященной показателю преломления. До сих пор мы об­ходились только относительными интенсивностями, а на этот раз мы получим формулу для полной величины поля при усло­виях, о которых будет рассказано ниже.