Заряд в потенциальном электрическом поле

Заряженные частицы в ЭМ поле

В вакуумном промежутке, где имеется электрическое поле с напряженностью Е и магнитное поле с индукцией В на частицу, имеющую заряд q действует так называемая сила Лоренца, которая в соответствие с законом Ньютона и определяет изменение импульса частицы

d p /dt = F _л = q E + q[ v x B ] (1)

где v - скорость частицы.

Релятивистские эффекты могут быть важны в пучках частиц высокой энергии, в этом случае р =gm v, где g = - так называемый гамма – фактор, но в разрядах эти эффекты как правило не играют существенной роли, в этом случае р =m v без релятивистских поправок и (1) можно записать в виде

md v /dt = q E + q[ v x B ] (1¢)

Вспомним некоторые частные решения этого уравнения.

Заряд в потенциальном электрическом поле

Пусть В = 0, а Е = - gradj, т.е. электрическое поле имеет потенциальный, не вихревой характер. Умножая обе части (1) на v dt и учитывая, что v dt=d r получаем

m v d v = q E d r = -qdj (2)

Интегрируя получаем хорошо известный закон сохранения энергии

mv²/2 - mv₀²/2 = -q(j - j₀) (3)

Увеличение кинетической энергии равно уменьшению потенциальной. Здесь v ₀ - скорость частицы в некоторый начальный момент времени, когда она находилась в точке, где потенциал равен j₀. Если начальная скорость мала (v₀ ~ 0), то кинетическая энергия равна произведению заряда на пройденную разность потенциалов, т.е на напряжение

e = q(j₀ - j) = qU, (4)

а скорость тогда определяется соотношением

v = (2qU/m)^1/2. (5)

Для электрона

v = 6×10⁵ ×U^1/2 [м/с],

U в вольтах. Для иона

v = 1.4×10⁴(ZU/A)^1/2

где Z - кратность заряда иона, А - атомный номер.

Если электрическое поле однородное Е ~ соnst, а магнитное по -прежнему отсутствует, то из уравнения (1) после интегрирования получается простая зависимость скорости от времени

v = v ₀ + E t/m (6)

v ~ E t/m при v₀ ~ 0.