Аналогично M3(–1,–3)

Контрольная работа №1 по геометрии.

Решение нулевого варианта

1. A (1,– 6), B (–3, 0), C (6, 9).

Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О (a, b). Тогда уравнение выглядит так:

(x – a)² +(y – b)² = R ².

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M ₁(x ₁, y ₁), и M ₃(x ₃, y ₃) сторон BC и AB соответственно:

x ₁= = =, y ₁= = =, M ₁(,).

Аналогично M3(–1,–3).

Пусть l ₃ – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB, а l ₁ – к BC. Тогда = (– 4, 6) ^ l ₃ и l ₃ проходит через M ₃ . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l ₃. Поэтому уравнение l ₁:

9(x – ) + 9(y –) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l ₁ I l ₃. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l ₁ и l ₃ :

x + y – 6 = 0,

– 4 x + 6 y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10 y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= =.

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2. C (–5,–5), O (– ,–3), 3 x – 2 y + 5 = 0.

Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ. Он задан общим уравнением вида

Ax + By + C = 0.

В данном уравнении геометрический смысл коэффициентов A и B – это координаты вектора нормали: (A, B). Поэтому (3,–2) ^ ВС.

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D.

Вектор будет параллелен OD, т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l:

Имеем D = l I BC. Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC. Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC:

3(– + 3 t) –2(–3 -2 t)+5 = 0,

– + 9 t +6 +4 t +5 = 0,

13 t = –, t = –.