Электронная теория Лоренца

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

,

где - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ , поэтому

. (9.5)

Из формулы (9.5) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина л, являясь переменной (см. § Дисперсией света), остается в то же время равной определенной постоянной . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости от частоты со световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. ( æ) и (P =æε0E)), равна

æ ,

где æ - диэлектрическая восприимчивость среды, ε0 - электрическая постоянная, P - мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

(9.6)

т. е. зависит от P. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока ( Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны - оптические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е - заряд электрона, х - смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна n0 то мгновенное значение поляризованности

. (9.7)

Из (9.6) и (9.7) получим

(9.8)

Следовательно, задача сводится к определению смещения x электрона под действием внешнего поля E. Поле световой волны будем считать функцией частоты , т. е. изменяющимся по гармоническому закону: .

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. § 147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

(186.5)

где F₀ = eE₀ - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, - собственная частота колебаний электрона, m - масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем e = n² в зависимости от констант атома (е, m, w₀) и частоты w внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

(186.6) (186.7)

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

(186.8)

Если в веществе имеются различные заряды e_h совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами еа_0|, то

(186.9)

где m₁ - масса i-го заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления л зависит от частоты w внешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от w = 0 до w = w₀n² больше единицы и возрастает с увеличением w (нормальная дисперсия); при w = w₀n² = ± ¥; в области от w = w₀ до w = ¥n² меньше единицы и возрастает от - ¥ до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n² к n, получим, что график зависимости n от w имеет вид, изображенный на рис. 270.

Рис. 270

Такое поведение n вблизи w₀ - результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции л (со) вблизи too задается штриховой линией АВ. Область АВ - область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании w), остальные участки зависимости n от w описывают нормальную дисперсию (n возрастает с возрастанием w).

Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876-1940) принадлежит классическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависимость n от w, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.