Статика, статодинамика, кинетика и кинетодинамика, или динамика

В общем случае при решении с помощью начал ОТ различ­ных задач, то есть при изучении конкретных явлений природы, возможны три разных подхода: теоретичес­кий, экспериментальный и смешанный. В первом случае могут быть либо использованы непосредственно уравнения начал, либо с их помощью выведены особые дифференциальные уравнения, отражающие более сложную специфику изучаемого явления. Второй подход особенно ценен при опре­делении свойств простых явлений, которые не могут быть выведены теоретически, а находятся только из опыта. Наконец, третий - это самый распространенный подход, когда теорети­ческие выкладки подкрепляются экспериментальными дан­ными. Например, в большинстве уравнений начал содержатся физические коэффициенты, которые обычно поставляет опыт. Ниже будут использованы все три подхода. Весьма интересные примеры непосредственного применения начал приводятся в настоящей главе.

Большую помощь при распространении полученных кон­кретных результатов на целый класс (бесконечное множество) подобных между собой явлений может оказать теория подобия. Предельно кратко, просто и ясно метод подобия изложен в работе [11, с.281-306]. Разновидностями метода подобия являются методы моделирования и аналогирования [20, с.277]. Метод моделирования заключается в том, что в эксперименте испытывается не подлежащее изучению данное явление (обра­зец), а любое другое (модель) из группы подобных между со­бою явлений, характеризуемое теми же значениями критериев, что и образец. В методе аналогирования вместо данного (обра­зец) испытывается аналогичное явление другого рода (аналог), например вместо термического - электрическое или гидравли­ческое. О свойствах образца судят по свойствам аналога на основе заранее установленного масштаба величин.

При выводе дифференциальных уравнений, описывающих изучаемые процессы, часто могут быть приняты определенные важные упрощения, крайне облегчающие решение различных практических задач. Это достигается путем рациональной классификации всех возможных состояний системы (ансам­бля). Благодаря этому в пределах каждого класса удается пренебречь определенными второстепенными свойствами систе­мы. Согласно ОТ, состояние ансамбля определяется количе­ствами содержащихся в нем и входящих в него веществ. Поэтому все возможные состояния классифицируются по при­знаку поведения вещества в системе. В общем случае можно различать четыре характерных типа поведения.

Если вещество находится в покое и его количество не из­меняется со временем, то соответствующая система называется стационарной равновесной. В такой системе вещество не пере­носится, поэтому отсутствуют и эффекты диссипации. Ста­ционарные равновесные системы изучаются в статике.

В нестационарных равновесных системах количество веще­ства со временем изменяется, но эффектами диссипации до­пустимо пренебречь. Соответствующие системы изучаются в статодинамике.

Если вещество в системе перемещается, но его количество от времени не зависит, тогда система именуется стационарной неравновесной, в ней эффектами диссипации пренебречь уже нельзя. Такие системы рассматриваются в кинетике.

Наконец, в нестационарной неравновесной системе перенос вещества сопровождается как изменениями его количества, так и заметными эффектами диссипации - это наиболее общий и сложный случай. Соответствующие системы изучаются в кинетодинамике, или просто динамике. Рассмотрим более подробно упрощения, которые могут быть внесены в дифферен­циальные уравнения в каждом из перечисленных случаев.

Самые простые расчетные уравнения получаются для стационарных равновесных систем, изучаемых в статике. Стационарной называется система, в которой количество вещества не изменяется со временем, то есть

¶Е/¶t = 0 (276)

При этом одновременно наблюдается постоянство сопряжен­ного с ним интенсиала, то есть

¶Р/¶t = 0 (277)

Покою вещества соответствует отсутствие разностей интенсиалов ΔΡ в объеме системы, поскольку эти разности являются движущими причинами процесса переноса вещества. Одинако­вость значений во всех точках системы каждого интенсиала есть необходимый и достаточный признак равновесного состоя­ния. Например, если у системы все точки обладают одинаковой температурой, то это означает, что вермическое вещество пре­бывает в покое (равновесии) и, следовательно, система нахо­дится в состоянии вермического (термического) равновесия. То же самое можно сказать о давлении и всех остальных интенсиалах.

О степени неравновесности состояния можно судить по то­му, насколько неравномерно распределены значения интен­сиала в объеме системы. Если перепад (разность) интенсиалов в системе равен ΔΡ, тогда степень неравновесности ее состояния определяется критерием

К_ΔΡ = - ΔΡ/Ρ (278)

С помощью критерия неравновесности равновесное состоя­ние системы можно охарактеризовать следующим образом:

К_ΔΡ = - ΔΡ/Р << 1 (279)

Критерий неравновесности много меньше единицы (практи­чески равен нулю).

Необходимо отметить, что покой вещества на уровне интен­сиала Р ¹ 0 в принципе отличается от абсолютного покоя, когда Р = 0. Первого типа покой тоже представляет большой теоретический и практический интерес, поскольку при определе­нии свойств системы достаточно использовать только третье и четвертое начала - состояния и взаимности. При этом ника­ких дополнительных уравнений выводить не приходится, расчетными формулами служат сами уравнения состояния и взаим­ности.

В статодинамике изучаются нестационарные равновесные системы. Признаком нестационарности является изменение интенсиала со временем. Причина нестационарности заключена в характере переноса вещества: если количество вещества, вошедшего в систему, не равно количеству вещества, вышед­шего из нее, то разница идет на изменение состояния системы. Обозначив поток вещества, пронизывающего систему, через I, получим следующий критерий нестационарности:

К_ΔI = ΔI/(I + ΔI) (280)

где ΔI -разность потоков, равная количеству вещества, акку­мулируемого системой:

ΔI = I’’ – I’;

I’’ и I’ - входящий в систему и выходящий из нее потоки; под I понимается наименьший из потоков: I’ или I’’.

На стационарном режиме весь поток пронизывает систему (ΔI = 0), критерий нестационарности

К_ΔI << 1. (281)

В нестационарных условиях

0 < К_ΔI << 1. (282)

В крайнем случае предельно развитого нестационарного режима I = 0, критерий нестационарности

К_ΔI = 1 (283)

Весь поток аккумулируется системой. Именно такой предель­ный случай рассматривается в статодинамике.

Равновесность статодинамической системы обеспечивается благодаря соблюдению требования (279). Оба требования - равновесности (279) и нестационарности (283) - выполня­ются тогда, когда скорость перераспределения вещества в объе­ме системы заметно превышает скорость поступления вещества в систему. Такие условия имеют место, если сопротивление системы много меньше сопротивления на ее поверхности. На практике это требование хорошо удовлетворяется, например, для термической и механической степеней свободы теплового двигателя [21, с.162]. В теории теплопроводности такие усло­вия соответствуют величине известного критерия Био, стремя­щейся к нулю.

Как видим, статодинамическая система обладает весьма интересными свойствами: количество вещества в ней изменя­ется со временем, но интенсиалы распределены по объему практически равномерно. Изменения экстенсора и интенсиала делают систему квазиравновесной. Отсутствие заметных раз­ностей интенсиалов по сечению приводит к тому, что внутри системы экранированное вермическое вещество практически не выделяется, теплота диссипации появляется только на по­верхности, где имеется заметное сопротивление. Именно такой случай является предметом изучения в классической термо­динамике.

В статодинамике используется весь математический аппа­рат основных законов, причем для оценки процессов обмена должны быть выведены особые дифференциальные уравнения переноса, учитывающие специфику нестационарной равновес­ной системы. Вывод этих уравнений крайне облегчается из-за равномерного распределения интенсиалов в сечении системы, ибо ее состояние в любой момент целиком характеризуется только одним значением интенсиала. Соответствующие формулы, определяющие изменения со временем количества пере­данного вещества, энергии, интенсиала, потока вещества, ко­личества тепла диссипации на поверхности и т.д., приводятся, например, в работах [17, с.88, 102; 21, с.193].

В кинетике изучаются стационарные неравновесные систе­мы. Условие стационарности определяется формулами (276) и (277), условие неравновесности - выражением

К_ΔΡ = - ΔΡ/Ρ» 1 (284)

Особенность кинетической системы заключается в том, что она как бы пронизывается веществом, ибо количество вошед­шего вещества равно количеству вышедшего. Это соответству­ет условию (281). Проходящее сквозь систему вещество создает все эффекты переноса, включая диссипацию. Другая часть ве­щества находится в покое, она обеспечивает соблюдение усло­вий (276) и (277) и создает нужные для переноса разности ΔΡ.

При решении кинетических задач используется весь мате­матический аппарат ОТ. Если поле интенсиалов является одно­мерным, тогда интегрируются непосредственно уравнения ос­новных законов и найденные интегралы согласуются с соответ­ствующими условиями однозначности. При неодномерном поле интенсиалов приходится выводить специальные дифферен­циальные уравнения переноса, они могут быть получены также в качестве частных случаев из уравнений динамики.

Нестационарные неравновесные системы, изучаемые в дина­мике, описываются следующими значениями критерия не­стационарности (280):

0 £ К_ΔI £ 1. (285)

Это значит, что из динамической системы в частном случае могут быть получены все остальные: статическая (при I = 0 и ΔI = 0), статодинамическая (при К_ΔI = 1) и кинетическая (при К_ΔI << 1).

Например, для решения динамических задач в параграфе 13 гл. XI были выведены особые дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных. Решение этих уравне­ний совместно с условиями однозначности позволяет найти свойства любой системы.

В общем случае динамические системы отличаются наи­большей сложностью. Поэтому если есть возможность отнести изучаемую систему к какому-либо из частных случаев, то это следует сделать, чтобы существенно упростить математический аппарат исследования. При отнесении данной системы к тому или иному классу надо помнить, что критерии нестационарности и неравновесности не обязательно должны быть строго равны нулю или единице. Вполне достаточно, если они приближаются к этим значениям с той степенью точности, которая требуется от выполняемого инженерного расчета [ТРП, стр.290-295].