Теплопроводность. Температурное поле. Градиент температур. Основной закон теплопроводности

Температурное поле. Теплопроводность есть процесс распространения теплоты между частицами тела, находящимися в соприкосновении друг с другом и имеющими различные температуры. При этом обычно рассматриваются изотропные тела, характеризующимися одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При нагревании такого тела его температура в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется от точек с большей температурой к точкам с меньшей температурой. Отсюда следует, что передача теплоты теплопроводностью в твердых телах сопровождается изменением температуры тела как в пространстве, так и во времени

,

где - координаты точки; - время.

Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле, то есть совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором протекает процесс.

Если температура тела есть функция кроме координат еще и времени, то такое температурное поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму и называется нестационарным

, .

Стационарное температурное поле не зависит от времени, а определяется только координатами точек тела

, .

Уравнения двухмерного температурного поля для режимов:

стационарного ;

нестационарного .

Уравнения одномерного температурного поля:

стационарного ;

нестационарного .

Одномерным температурным полем характеризуется процесс переноса теплоты теплопроводностью, например, в тонкой стенке толщиной которой можно пренебречь в сравнении с шириной и длиной этой стенки.

Градиент температур. Если соединить точки тела с одинаковыми температурами, то получим поверхность равных температур – изотермическую поверхность. Изотермические поверхности никогда не пересекаются между собой. Они либо замыкаются на себя, либо обрываются на границах тела.

Рассмотрим две изотермические поверхности в теле с температурами и (рис. 13.1).

Рис. 13.1. К определению градиента температур

При перемещении, например, из точки А можно заметить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. По изотермической поверхности температура не изменяется и равна t. В направлении S температура изменяется. Наибольшая разность температур на единицу длины будет в направлении нормали к изотермическим поверхностям n. Предел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами по нормали , когда стремится к нулю, называют градиентом температуры

grad t = lim = .

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента принимается направление возрастания температур.

Основной закон теплопроводности. Связь между количеством теплоты , проходящим через элементарную площадку на изотермической поверхности, за промежуток времени , и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой

.

Знак «минус» в правой части уравнения, показывает, что в направлении теплового потока температура уменьшается и grad t является отрицательной величиной. Множитель пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности (или теплопроводностью). Приведенное уравнение носит название основного уравнения теплопроводности или закона Фурье. Справедливость гипотезы Фурье подтверждается опытами.

Количество теплоты, проходящее через единицу изотермической поверхности в единицу времени, называется плотностью теплового потока

.

Векторы q и grad t лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Количество теплоты Q, проходящее в единицу времени через произвольную поверхность F называется тепловым потоком

, Вт/с.

Количество теплоты, проходящее через произвольную поверхность F конечных размеров за промежуток времени будет равно

, Вт.

Таким образом, для определения количество теплоты, проходящей через произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела.