Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ», попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны, то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки: