А) Составляем блочную матрицу и преобразуем одновременно оба блока так, чтобы в левом получилась единичная матрица. Тогда в правом окажется обратная матрица

~

3 строку заменим суммой с 4 – й

~ ~

4 строку умножим на .

~ ~

4 строку заменим суммой с 3 – й

~ ~

4 строку умножим на .

~ ~

3 строку заменим суммой с 4 – й

~ ~

Делим 1 строку на 3, 2 – ю на 5, 3 и 4 строки на .

~ .

Ответ: - обратная матрица.

Проверка:

.

Б) нахождение обратной матрицы методом присоединенной матрицы (с помощью алгебраических дополнений)

Обратную матрицу найдем по формуле

, где:

определитель матрицы ;

А _{i j} – взятый со знаком определитель 3-го порядка, полученный из определителя матрицы вычеркиванием й строки и го столбца.

.

, , ,

, остальные элементы равны 0, т.к. определители содержат нулевую строку или столбец.

.

5. Решите матричное уравнение , где

, .

Решение

.

.

.

6. Вычислите ранг матрицы .

Решение

Заменим 4 строку суммой со 2 – й.

.

Ранг матрицы равен числу её ненулевых строк, т.е. 3.

7. Решите системы:

Решение