Гиперболоиды

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, называется однополостным гиперболоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости в репере гипербола задана каноническим уравнением . Чтобы получить однополостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть одну ветвь гиперболы, заданную уравнением .

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением – каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из однополостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется однополостным гиперболоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида:

.

Самостоятельно исследовать методом сечений и построить однополостный гиперболоид.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг её действительной оси, называется двуполостным гиперболоидом вращения.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскости в репере гипербола задана каноническим уравнением . Чтобы получить двуполостный гиперболоид вращения, достаточно рассмотреть точки гиперболы, расположенные в полуплоскости . Это будут точки, задаваемые уравнением: .

Поверхность, полученная при вращении этой линии вокруг оси , будет задаваться уравнением – каноническое уравнение двуполостного гиперболоида вращения.

О п р е д е л е н и е. Поверхность, полученная из двуполостного гиперболоида вращения путем сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения, называется двуполостным гиперболоидом.

Выполнив сжатие к плоскости , получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида:

.

Самостоятельно исследовать методом сечений и построить двуполостный гиперболоид.