Раздел 7 Дисперсионный анализ

Существенным недостатком лимита и амплитуды как критериев вариабельности является то, что они полностью зависят от крайних значений признака в вариационном ряду. При этом не учитываются колебания значений признака внутри ряда.

Наиболее просто определить однородность числового ряда с учетом всех значений, составляющих этот ряд, через отклонения всех вариант от центра ряда (среднего арифметического), поскольку каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средним арифметическим. Разность между конкретной вариантой и средним арифметическим из этого ряда называется отклонением от среднего d_i=(V_i – M). Такие отклонения от среднего (М=10) можно представить в графической форме:

Для получения обобщающей характеристики числового ряда использовать сумму отклонений от среднего нельзя. Это связано с тем, что сумма всех отрицательных и положительных отклонений от среднего всегда равна нулю. Можно избежать взаимной компенсации отклонений, беря квадраты отклонений, т. к. при возведении в квадрат отрицательные и положительные числа дают только положительные значения.

При усреднении всех отклонений числового ряда получается средний квадрат отклонений, который называется дисперсией — D. Алгебраическое выражение дисперсии: где n — число наблюдений, d — отклонения вариант от среднего d_i=(V_i – M). Во взвешенном ряду, дисперсия вычисляется по формуле:

Способы вычисления дисперсии

Простой ряд	Простой ряд	Взвешенный ряд или
V	d	d2	V	V2	V	Р	VP	V2P
	–2
	–1
M=17	Σd=0	Σd2=10	ΣV2=1455	ΣP=15	ΣVP=258	ΣV2P=4456
D=10/5=2	D=1455/5–172=2	M=258/15=17,2
		D=4456/45–17,22=1,2

Упрощенные способы расчета дисперсии позволяют избежать вычислений отклонений d. В этом случае, для не сгруппированного ряда , где ΣV_j² — сумма квадратов вариант ряда, М² — квадрат среднего арифметического, n — число наблюдений. Для сгруппированного ряда формула вычисления дисперсии упрощенным способом выглядит следующим образом:

, где ΣV_j²P — сумма произведений квадратов вариант ряда на их частоту, М² — квадрат среднего арифметического, ΣP_j — число наблюдений, определяемое как сумма частот. Если в результате статистического наблюдения получены несколько групп значений признака, то для вычисления обшей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. Более того, если совокупность имеет большое число наблюдений (большой объем), то в случае «ручного» проведения вычислений целесообразно ее разбить на несколько групп. В том и другом случаях вычислением дисперсий отдельных групп можно заменить непосредственное вычисление общей дисперсии. Поскольку общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Это свойство дисперсий имеет большое теоретическое и практическое значение, являясь основой широко применяющегося в научных исследованиях дисперсионного анализа.