Теорема 13

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство (67).

В случае превышения запаса над потребностью, т. е. вводится фиктивный (n +1)–й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю: Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство (67).

Аналогично, при вводится фиктивный (m +1)–й пункт отправления с запасом груза и тарифы полагаются равными нулю: Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (67).

Число переменных в транспортной задаче с т пунктами отправления и п пунктами назначения равно пт, а число уравнений в системах (64) и (65) равно п+т. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (67), то число линейно независимых уравнений равно п+т– 1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более п + т– 1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности п+т– 1, то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.

Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать изложенные выше методы.