Расчет токов методом Контурных токов

Расчет методом Узловых потенциалов

Потенциалы узлов №№ 1, 2, будем считать относительно узла № 0. Составим матрицу проводимостей G по следующим правилам:
1) G_ii равен сумме проводимостей ветвей сходящихся в узле № i;
2) G_ij равен сумме проводимостей ветвей между узлами № i и j взятых со знаком минус.

В итоге получаем:

G₁₁ = 1/r1+1/r2+1/(r03+r4)+1/(r02+r3) = 0.377518

G₁₂ = G₂₁ = -1/r1-1/r2 = -0.24359

G₂₂ = 1/r1+1/r2+1/r01 = 1.24359

Составим вектор узловых токов J. J_i i-го узла равен сумме:

1) втекающих/вытекающих в узел источников ЭДС деленных на сумму сопротивлений ветви;

2) втекающих/вытекающих в узел источников тока;

3) источники тока и ЭДС вытекающие из узла берутся со знаком минус, втекающае в узел - со знаком плюс.

Тогда получим:

J₁ = -E3/(r03+r4)+E2/(r02+r3) = -3.57143 А;

J₂ = E1/r01 = 160 А.

В матричном виде система уравнений:

G*U=J'

где:

G - матрица проводимостей:

U - вектор потенциалов узлов: I=[U1 U2];

J - вектор узловых токов: J=[-3.57143 160].

Найдем потенциалы узлов. Решим полученую систему уравнений методом Гаусса.
Умножим 2-ю строку системы на 0.195876 и сложим с 1 строкой. В итоге получим:

Из первого уравнения полученной системы легко вычислить U1:

U1 = B[1]/A[1,1] = 84.1976

Зная U1 из второго уравнения вычисляем U2:

U2 = (B[2] - A[2,1]*U1)/A[2,2] = 145.152

Зная потенциалы узлов можно токи через элементы:

Ir1=(U2-U1)*1/r1 = 4.68881 А;

Ir2=(U2-U1)*1/r2 = 10.1591 А;

IE3=(U1+E3)*1/(r03+r4) = 14.5855 А;

IE2=(E2-U1)*1/(r02+r3) = -0.26235 А;

IE1=(E1-U2)*1/r01 = 14.8479 А.

Расчет напряжений для элементов цепи проводим по закону Ома:

Ur1 = Ir1*r1 = 60.9545 В;
Ur2 = Ir2*r2 = 60.9545 В;
Ur01 = IE1*r01 = 14.8479 В;

Ur02 = IE2*r02 = -0.5247 В;
Ur03 = IE3*r03 = 14.5855 В;
Ur3 = IE2*r3 = -3.6729 В;
Ur4 = IE3*r4 = 189.612 В.

Расчет мощностей на элементах цепи

Расчет проводим из соотношения P=U*I. Вычисленные данные сведем в таблицу:

Баланс мощностей:

Мощность источников: PE=PE1+PE2+PE3=2375.66-20.988+1750.27 = 4104,94 Вт,

Мощность приемников: P=Pr1+Pr2+Pr3+Pr4+Pr01+ Pr02+ Pr03 = 285.804 + 619.242+ 0.963585+ 2765.59+ 220.46+ 0.137655+ 212.738 = 4104,94 Вт.

Расчет токов методом Контурных токов

Ведем следующие контурные токи:

IK1 = Ir2 - протекает через цепи (1-й контур): r2, r1.
IK2 = Ir4 - протекает через цепи (2-й контур): r4, r03, E3, r1, E1, r01.
IK3 = Ir3 - протекает через цепи (3-й контур): r3, r02, E2, r1, E1, r01.

Тогда токи отдельных ветвей можно выразить как сумму токов контуров, которые через них проходят:
Ir1 = IK1-IK2-IK3
Ir2 = IK1
IE3 = -IK2
IE2 = IK3
IE1 = -IK2-IK3

Исходя из второго закона Кирхгофа и выражений для токов через элементы через контурные токи можно составить следующую систему уравнений:

1-й контур: r2*IK1+r1*IK1-IK2-IK3 = 0

2-й контур: r4*IK2+r03*IK2+r1*(IK2-IK1+IK3)+r01*(IK2+IK3) = -E3-E1

3-й контур: r3*IK3+r02*IK3+r1*(IK3-IK1+IK2)+r01*(IK3+IK2) = E2-E1

В матричном виде получаем следующую систему уравнений:

A*I=B'

где:
A - матрица СУ:

I - вектор искомых контурных токов: I=[IK1 IK2 IK3];
B - вектор контурных ЭДС: B=[0 -280 -80].

Решим полученую систему уравнений методом Гаусса.

Умножим 3-ю строку системы на 0.433333 и сложим с 1 строкой. В итоге получим:

Умножим 3-ю строку системы на -0.466667 и сложим с 2 строкой. В итоге получим:

Умножим 2-ю строку системы на 0.322981 и сложим с 1 строкой. В итоге получим:

Из первого уравнения полученной системы легко вычислить IK1:

IK1 = B[1]/A[1,1] = -10.1591

Зная IK1 из второго уравнения вычисляем IK2:

IK2 = (B[2] - A[2,1]*IK1)/A[2,2] = -14.5855

Аналогично вычисляем остальные неизвестные системы:

IK3 = (B[3] - A[3,1]*IK1 - A[3,2]*IK2)/A[3,3] = -0.26235

Зная контурные токи расчитываем токи отдельных ветвей:

Ir1 = IK1-IK2-IK3 = 4.68881 А;
Ir2 = -IK1 = 10.1591 А;
IE1 = -IK2-IK3 = 14.8479 А;

IE2 = IK3 = -0.26235 А;
IE3 = -IK2 = 14.5855 А.

Как видим полученные токи полностью совпадают с токами расчитанными методом узловых потенциалов.