Неопределенные системы. Общее решение

Пусть система (1) (в матричной форме А = , А=А_mxn) совместная и ранг ее r меньше числа неизвестных (r < n), то есть имеется бесчисленное множество решений. Пусть А = соответствующая однородная система (приведенная):

. (1º)

Применяя эквивалентные преобразования приведем систему (1º) к следующей эквивалентной системе из r линейно независимых уравнений ступенчатого вида (используется алгоритм Гаусса–Жордана для матрици (А_mхn½ )~А_mхn):

Соответственно преобразованная матрица А_mхn имеет структуру U=U_rхn=(Е _rхr½ Р _rх(n-r)), где Е _rхr – единичная квадратная матрица r –го порядка из коэффициентов (векторов , , …, ) при так называемых r базисных неизвестных х ₁, х ₂, …, х _r, а матрица Р _rх(n-r) состоит из столбцов коэффициентов при остальных (n – r) неизвестных, которые называются параметрическими (свободными) и, как правило, переобозначаются: х _r+1= a ₁, х _r+2= a ₂, …, х _n= a _n-r.

За базисные неизвестные можно принять такие r неизвестных, чтобы ранг матрици, составленной из коэффициентов при этих неизвестных, был равен r, т. е. соответствующий определитель этой матрицы был не равен нулю.

Выражая базисные неизвестные из уравнений через параметрические получим вместе с заданными параметрическими общее решение однородной системы (2º), а значит и однородной системы (1º).

При определенных заданных значениях a ₁, a ₂, …, a _n-r получаются конкретные частные решения системы (1º).

Любое решение = однородной системы (1º) может быть представленною в следующей форме:

,

или = a ₁ + a ₂ +…+ a _n-r , (3⁰)

где a ₁, a ₂, …, a _n-r – произвольные числа (постоянные), а система из (n - r) линейно независимых частных решений , , …, (соответствующая матрица, составленная из этих векторов, имеет ранг n - r, так как имеются в ней последние (n - r) векторов-строк , , …, , как известно, линейно независимых) называется фундаментальной системой решения. Общее решение (3⁰) системы (1⁰) есть линейная комбинация фундаментальных решений; пространство решений однородной системы имеет размерность n - r = dimH = dim { : A = }.

Теперь мы соберем воедино наши результаты относительно решения системы (1) общего вида (m – уравнений, n – неизвестных, ранг системы r £ n) в следующих теоремах.

Теорема 4. Пусть =(х ₁⁰, х ₂⁰, …, х ⁰_n) – некоторое (частное) решение неоднородного уравнения (1).

Для того, чтобы =(х ₁, х ₂, …, х _n) было также решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало решение ( Î H ={ : A = }) приведенной (однородной) системы (1⁰) такое что = + .

Достаточность. В матричной форме имеем А = , А = , тогда А =А( + )=A +A = + = , т. е. = + – решение системы (1).

Необходимость. Пусть – произвольное, а – частное решения системы (1) в матричной форме: А = , А = . Вычитая одно из другого уравнения, имеем А( – )= . Это значит, что вектор = – удовлетворяет однородной системе (1⁰) и тогда = + .

Теорема 5. Пусть , , …, – фундаментальная система решений однородной (приведенной) системы уравнений (1⁰), а – некоторое (частное) решение неоднородной системы (1). Тогда общее решение х неоднородной системы линейных уравнений (1) имеет вид:

= + с ₁· + с ₂ +…+ с _n-r , (4)

где с ₁, с ₂,…, с _n-r – произвольные числа.

Замечание. Теорема 5 верна для любых систем линейных уравнений, в частности для однородных (тогда = – нулевое решение).

При r = n теорема 5 также верна, в этом случае = – единственное решение.

Пример 6. Запишем общее решение системы из примера 1, б) в виде (4) (r =2< n =3; базисные неизвестные х ₂, х ₃, свободное х ₁= a):

,

где =(0, 1, 0) – частное решение неоднородной системы, = (1, -1, 0) – фундаментальное решение приведенной (однородной) системы, a - произвольное число. Размерность пространства решений равна 1.

Примем за базисные неизвестные х ₁, х ₃, тогда х ₂= t – свободное. Это можно сделать, так как в преобразованной матрице:

определитель из коэффициентов при х ₁, х ₃ не равен нулю:

. Тогда имеем: х ₃=0, х ₁=1– t и решение представимо в следующем виде:

,

=(1, 0, 0), =(-1, 1, 0), t Î R.

Неизвестные х ₁, х ₂ за базисные принять нельзя (почему?).

Пример 7. Найти общее решение системы.

.

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:

.

Система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг системы r =2 меньше числа неизвестных n =4. Примем r =2 неизвестных х ₁, х ₂ за базисные, остальные n – r =2 неизвестных объявим свободными и переобозначим х ₃= a ₁, х ₄= a ₂. Выразим базисные неизвестные через свободные (параметрические): х ₂=2/3–2/3 a ₁+ a ₂, х ₁=5/3+1/3 a ₁- a ₂ и запишем общее решение:

или = + с ₁· + с ₂· , где = (5, 2, 0, 0) – частное решение неоднородной системы, =(1, -2, 3, 0), =(-1, 1, 0, 1) – фундаментальные решения соответствующей однородной системы, с ₁= a ₁, с ₂= a ₂ – произвольные постоянные (числа).

Очевидно, = + где = с ₁ + с ₂ – общее решение однородной системы. Пространство решений имеет размерность 2.

Если примем за базисные неизвестные х ₁, х ₄, свободные х ₂= b ₁, х ₃= b ₂, то будем иметь:

.

Выразим базисные неизвестные через свободные: х ₄=-2/3+ b ₁+2/3 b ₂, х ₁=7/3– b ₁–1/3 b ₂.

Найдем общее решение:

= , где =1/3(7, 0, 0, -2) – частное решение неоднородной системы, =(-1, 1, 0, 1), =(-1, 0, 3, 2) – фундаментальные (линейно-зависимые) решения однородной системы, b ₁, b ₃Ï R.

Проанализируйте возможные другие варианты выбора базисных неизвестных.