Відповіді: 6. 7. 8. 9. 10. 11

4.4. Подвійні інтеграли в полярних координатах

У деяких випадках, коли підінтегральна функція містить вираз чи , або область інтегрування є круг чи частина круга, подвійний інтеграл легше обчислювати, якщо від прямокутних координат і перейти до полярних і за формулами

Тоді має місце рівність:

(1)

рис. 8.

Нехай промені і , які дотикаються границі області у точках і (див. рис. 8), утворюють з полярною віссю відповідно кути і . Область обмежена лініями і , рівняння яких в полярних координатах відповідно і , тоді рівність (1) запишеться:

. (2)

Якщо ж полюс міститься внутрі області (рис. 9), то , а , де - рівняння границі області , тоді

. (3)

рис. 9.

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл.

,

де область - півкруг: .

Розв’язання. Перейдемо до полярних координат: . Запишемо рівняння півкола , в полярних координатах: .

В півкрузі (див. рис. 10), тоді

рис. 10.

.

Задача. Обчислити інтеграли

1. ; - - І чверть круга .

2. ; - круговий сектор , , .

3. ; - кругове кільце , .

4. ; - півкруг , .

5. ; - круг .

6. ; - круговий сектор , , , .