В замкнутій області

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D і має в ній скінчені частинні похідні. В цій області знайдеться точка в якій функція приймає найбільше (найменше) значення.Якщо точка лежить усерединє області D, то в ній функція має максимум (мінімум), тому ця точка знаходиться серед критичних точок. Але найбільшого (найменшого) значення функція може досягати і на границі області. Тому, для того щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, треба знайти усі внутрішні критичні точки, обчислити значення функції в них і порівняти із найбільшим (найменшим) значенням функції в граничних точках області. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції в усій області.

Приклад. Знайти найбільше значення добутку невід'ємних чисел за умови, що їх сума є стала величина:

Розв'язання. Покажемо, що найбільше значення отримаємо при

Знайдемо із даної умови: і підставимо в

Маємо функцію від незалежних змінних в двовимірній області згідно умов:

Геометрично - ця область є прямокутний трикутник, обмежений прямими

Знайдемо похідні і прирівняємо до нуля:

Внутрі області розв'язком системи є де

Враховуючи, що на границі області то в знайденій точці , дійсно функція має найбільше значення.

Задача розв'язана, тому що при для змінної маємо Згідно з результатом добуток невід'ємних чисел , сума яких дорівнює , не більше тобто Отже середнє геометричне не більше середнього арифметичного. Це вірно для довільної кількості чисел.