Геометрический смысл модуля и знака Якобиана

Модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок Δ D и Δ D ΄.

Геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случае положительного якобиана ориентации контуров, ограничивающих области D' и D при отображении совпадают, а при отрицательном — отличаются.

3.Двойной интеграл в полярной системе координат (как частный случай).

Связь между переменными в декартовой и полярной системах координат:

(см. рис. 2.2)

Теперь формула (2.3) примет вид:

(2.6)

Заметим, что при переходе к полярным координатам область не меняется.

Область интегрирования в полярной системе координат назовём радиально правильной, если она заключена в секторе между лучами и и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точках сектора, кривыми с уравнениями . (См. рис. 2.3)

(2.7)

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле

(2.8)

Замечание. К полярным координатам удобно переходить, когда подынтегральная функция зависит от и в уравнениях границы области содержится эта же комбинация.

Пример 2.1 Область задана неравенствами , и Преобразуем двойной интеграл в повторный, изменим порядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.

Решение. Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями и прямой (см. рис. 2.4).

Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равны переменные . Перейдём к полярной системе и выразим

(Обратите внимание на знаки перед корнями!)

Данная область не является - правильной, т.к. её нижняя граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).

Тогда .

В - правильной области переменные изменяются так, что .

В - правильной области имеем .

И тогда

Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.

Поменяем порядок интегрирования. Область не является - правильной, т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правой границе (см. рис. 2.4). Тогда в - правильной области переменные изменяются так, что , а в - правильной области . И теперь

Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярным координатам. Область в полярной системе координат является радиально правильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что Отсюда следует, что

Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.

4.Обобщённые полярные координаты.

При решении некоторых задач удобна следующая замена переменных, которая существенно упрощает вычисление интеграла.

,

Здесь переменные называются обобщёнными полярными координатами.

Пример 2.2 Вычислим площадь области, ограниченной астроидой .

Решение. Построим астроиду (см. рис. 2.5).

Введём обобщённые полярные координаты: , и показатель α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилось уравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показатель равен трём.

Рисунок 2.5

Действительно, , или .

Якобиан отображения при этом равен .

Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомой площади:

Область является радиально правильной. Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

.

Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалось возможным взять интегралы по и отдельно друг от друга, как их произведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.

Домашнее задание к занятию 2: ОЛ-6 №№2161, 2163, 2167, 2170, 2181 или ОЛ-5 №№ 8.42, 45, 49, 51, 60, 63.