Метод вариации произвольных постоянных

Допустим, что уравнения переходных процессов в некоторой линейной цепи после исключения всех искомых переменных (токов), за исключением одной, сведены к одному уравнению:

,

где - функция, определяемая ЭДС, действующими в цепи и имеющими произвольный характер.

Как и обычно находим решение однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению. Пусть это решение имеет вид (штрихи для свободного тока не пишем, чтобы не путать со знаком производной)

, (4.1)

где - корни характеристического уравнения (простые числа), которое выглядит следующим образом:

.

Идея метода состоит в том, что в уравнении (4.1) рассматриваются не как постоянные, а как переменные, которые следует найти с учетом правой части исходного уравнения.

Поступают следующим образом. Составим уравнения:

(4.2)

Штрих над означает производную.

Подставив уравнение (4.1) в исходное уравнение после приведения подобных членов, получим уравнение:

(4.3)

Таким образом, для величин получена система линейных уравнений (4.2), (4.3) из уравнений. Решая ее, находим эти постоянные, а затем квадратурами находим сами величины в зависимости от и произвольных постоянных . Последние определяем из начальных условий, а те в свою очередь – с помощью законов коммутации.

Пример.

Пусть имеется цепь из последовательно соединенных (рис. 4.1). Она включается на напряжение . Коммутация происходит при нулевых начальных условиях .

Запишем уравнение цепи .

Решение однородного уравнения равно

. (4.4)

Рассмотрим как функцию времени. Поэтому

.

Подставим эту формулу и уравнение (4.4) в исходное уравнение:

, .

,

.

Данное выражение подставляем в уравнение (4.4):

. (4.5)

При имеем

, .

Значение вносим в уравнение (4.5) и находим напряжение на конденсаторе:

.

Найдем выражение для тока:

.