Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах (вывод)Стр 1 из 5Следующая ⇒
Положение плоскости в трехмерном пространстве будет вполне определено, если известно ее расстояние P от начала координат O, т.е. длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор , перпендикулярный к плоскости. По условию, . Для любой точки M(x,y,z), лежащей на плоскости, имеем: С другой стороны, по определению скалярного произведения двух векторов имеем: или (1) Уравнение (1) называется векторным уравнением плоскости. Одновременно уравнение (1) называется нормальным уравнением плоскости. Пусть теперь единичный вектор образует с осями координат соответственно углы α, β, γ. Тогда имеет своими координатами направляющие косинусы, т.е. . Далее, вектор . Тогда получим скалярное произведение векторов: При этом уравнение (1) примет вид: (2) Уравнение (1) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в координатной форме. Замечание: как и в случае нормального уравнения прямой, в рассматриваемом случае уравнение (2) можно получить, используя теорию проекций. 2. Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость не проходит через начало координат, а отсекает от осей координат соответственно отрезки a, b, c. Как видно из рисунка, плоскость проходит через точки M(a,0,0), N(0,b,0) и R(0,0,c). Пусть общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 (1). Подставим в это уравнение координаты точек M, N и R, получим: (2) Так как плоскость не проходит через начало координат, то D≠ 0. Так как плоскость отсекает от осей координат ненулевые отрезки, то A≠ 0, B≠ 0, C≠ 0. Тогда из (2) имеем: Подставив эти значения в уравнение (1), получим: . Так как D≠0, то все члены последнего равенства можно разделить на (-D). Получим: или (3) Уравнение (3) и есть уравнение плоскости в отрезках. 3. Теоремы о пределах (вывод одной из них). Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f(x) при x®a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде: f(x) = A+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция. Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной. Теорема 3. Если функция ³0 ( £0) для любых х в некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и в точке а имеет предел, то Теорема 4. Если функции и имеют пределы при x®a, то при x®a имеют пределы их сумма + произведение и при условии, то частное причем (1) (2) (3) Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1). Пусть , тогда по теореме 1: где Отсюда По свойству бесконечно малых (1) α(x) + β(x) – бесконечно малая, следовательно, по теореме (1): . Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при x → a, то: , где n – натуральное число. Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , c = const. Теорема 5. Если для функций f(x), f1(x) и f2(x) в некоторой окружности точки a выполняется неравенство , и , то .
4.Первый замечательный предел (вывод). Теорема. (раскрывает неопределенность типа ). Доказательство. Возьмем круг единичного радиуса и положим . X – угол выраженный в радианах. Обозначим площади треугольника ОАВ через– S1, треугольника ОАС – S2, площадь сектора ОАВ – через S. Неравенство (1) получено для однако cos x и функции четные,т.к. cos (-x) = cos x. т.е. (1) справедливо и для т.к. , то из (1) на основании теоремы 5 заключаем . 5. Производные элементарных функций (вывод одной из них).
Выведем формулу нахождения производной показательной функции Придавая аргументу приращение , находим для приращения функции следующее значение: (1). Делим на : (2) Переходим к пределу при : , но . Поэтому (3). Итак (4). В частности, (5) (так как ).
|