Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой

Момент силы F относительно точки О, который записывается в виде m_О( F ), для плоской системы сил равен по абсолютной величине произведению модуля силы F на расстояние h от точки О до линии действия силы F, называемое плечом.

Если сила F стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент силы положителен, если в направлении часовой стрелки, то отрицателен. Например, m_О( F₁ )= F₁h₁, m_О( F₂ )=F₂h₂ (рис)

h – является отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как плечо при этом равно нулю m_О( F₃ )=0.

Теорема Вариньона для системы сходящихся сил: Момент относительно точки равнодействующей R системы сходящихся сил F₁, F₂, F₃, …, F _n, расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки:

Удобство применения теоремы Вариньона заключается в том, что, минуя непосредственное определение равнодействующей, можно вычислить ее момент относительно точки, зная моменты всех слагаемых сил относительно той же точки.

Если единственной связью, наложенной на твердое тело, находящееся в равновесии, является неподвижная точка (например, шарнир), то согласно теореме Вариньона сумма моментов сил относительно неподвижной точки должна быть равна нулю: , где О неподвижная точка.

Задача: Тонкий однородный стержень АВ весом Р может вращаться вокруг шарнира В, прикрепленного к полу. Определить величину силы F, которую нужно приложить по горизонтали вправо в конце стержня А, чтобы стержень оставался в равновесии, образуя угол α с вертикалью (рис). Вес Р приложен в середине стержня АВ.

Решение: Силы Р и F активные. Их линии действия пересекаются в точке О. Связь – шарнир В. Реакция проходит через точку В. Следовательно равнодействующая активных сил должна быть равна по модулю реакции и проходить через точку О и точку В. АС=СВ построив равнодействующую R активных сил под углом β к вертикали и построим силовой треугольник КLМ, откуда:

Данную задачу легко решить с использованием теоремы Вариньона:

Подставляя значения моментов в уравнение равновесия, получим то же решение, что и первом случае.