Квадратичная форма

Функция F (x ₁, x ₂, …, x_n)= называется квадратичной формой от переменных x ₁, x ₂, …, x_n, если a_ij = a_ji для всех i, j Î{1, 2, …, n }. Матрицей квадратичной формы называется матрица A =(a_ij) _{n ´ n}. Таким образом, матрица квадратичной формы является симметрической.

Квадратичная форма и соответствующая ей матрица A =(a_ij) _{n ´ n} называются положительно (отрицательно) определённой, если для любого ненулевого X =(x ₁, x ₂, …, x_n) выполняется неравенство >0 ( <0). Тот факт, что является положительно (отрицательно) определённой, обозначается через A >0 (A <0).

Аналогично, квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределённой, если для любого X выполняется неравенство ³0 ( £0) и существует ненулевой вектор X, такой, что =0. Обозначение: A ³0 (A £0).

Квадратичная форма называется знаконеопределённой, если существуют такие векторы X =(x ₁, x ₂, …, x_n) и =(, , …, ), что выполняются неравенства >0 и <0. Обозначение: А 0.

1.6.1. Для того, чтобы матрица была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы были положительными:

D₁>0, D₂>0, …, D _n >0.

Для того, чтобы матрица была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

D₁<0, D₂>0, …, (-1) ⁿ D _n >0.

Для того, чтобы матрица была положительно полуопределённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были ненулевыми.

Для того, чтобы матрица была отрицательно полуопределённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры чётного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечётного порядка были неположительны.

Таким образом, если для квадратичной формы не выполняется ни одно из вышеперечисленных условий 1.6, то она является знаконеопределённой.

Ясно, что при достаточно больших п для проверки знакоопределённости квадратичной формы использование миноров (как угловых, так и главных) не очень удобно. Иногда удобно использование собственных векторов.

1.6.2. Для того, чтобы матрица была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были положительными:

l ₁>0, l ₂>0, …, l_n >0.

Для того, чтобы матрица была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были отрицательными:

l ₁<0, l ₂<0, …, l_n <0.

Для того, чтобы матрица была положительно полуопределённой, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были неотрицательными:

l ₁³0, l ₂³0, …, l_n ³0.

Для того, чтобы матрица была отрицательно полуопределённой, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения были неположительными:

l ₁£0, l ₂£0, …, l_n £0.

Наконец, квадратичная форма является знаконеопределённой тогда и только тогда, когда собственные значения матрицы квадратичной формы принимают различные знаки.