Полярное разложение

Напомним, что линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора.

Теорема 3.16 Пусть А – невырожденный линейный оператор в евклидовом пространстве . Тогда существуют ортогональный оператор и самосопряжённый оператор с положительными собственными значениями (положительный оператор), такие, что – полярное разложение.

Замечание. На практике, надо умножить матрицу линейного оператора на матрицу . Из матрицы извлечь квадратный корень и получим симметрическую матрицу . С помощью элементарных преобразований из матрицы получим матрицу . Тогда .

Пример 14 Найти полярное разложение для матрицы линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве.

Решение. .

Тогда, . Найдем и .

Найдем собственные значения матрицы : , . Они различны.

Функция . Составим и решим систему относительно и :

Тогда, .

Видим, что .

В матрице получим на месте матрицы единичную матрицу:

.

Тогда, . Мы видим, что

.

Получили полярное разложение , т.е.

.