Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Устойчивость процессов в нелинейных системахОсновные понятия и определения
Раздел, посвященный анализу устойчивости систем автоматического управления, является традиционным при изложении курса ТАУ. Объясняется это тем, что системы управления с обратными связями (кибернетические системы) склонны к неустойчивости. Устойчивостью любого явления в природе называют его способность достаточно длительно сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает существовать. Применительно к САУ этими явлениями являются протекающие в них процессы. Основные определения и методы анализа устойчивости были даны в работах крупнейшего российского математика Ляпунова А.М. Рассмотрим простейший случай нелинейной системы первого порядка рис. 2.2, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением
, (2.68)
где − входное воздействие, − исследуемая координата. Пусть при задано начальное значение искомого решения и задано определенное входное воздействие при . В этом случае уравнение (2.68) имеет определенное решение , которое будем называть невозмущенным процессом (решением, движением). Любое другое решение, обусловленное другими начальными условиями , но при том же воздействии , будем называть возмущенным и обозначать . Задача ставится следующим образом: как ведет себя возмущенное движение относительно невозмущенного с течением времени, т.е. при , или как ведет себя отклонение при . Решение этой задачи и составляет предмет математической теории устойчивости. Анализ поведения решений исходного уравнения можно заменить анализом тривиального решения уравнения
, (2.69)
полученного из (2.68) заменой . Уравнение (2.68) называется уравнением возмущенного движения в отклонениях. Это уравнение всегда имеет решение . Рассмотрим общий случай нелинейной системы произвольного порядка, для которой уравнения возмущенного движения в отклонениях имеют вид:
, , (2.70)
где при функции . Дадим ряд понятий и определений устойчивости, следуя работам Ляпунова. Невозмущенное решение (положение равновесия) называется устойчивым, если при заданном , сколь бы оно мало ни было, существует такое , в общем случае зависящее от , что при начальных отклонениях , будет выполняться условие , при . Невозмущенное решение называется неустойчивым, если хотя бы для одного условие не выполняется. Если решение устойчиво и дополнительно при , , то невозмущенное решение будем называть асимптотически устойчивым. Если положение равновесия асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях , т.е. , то говорят об устойчивости в целом. Если известна величина , то говорят об устойчивости в большом или об устойчивости в области. Если известно, что величина существует и может быть сколь угодно малой, то говорят об устойчивости в малом. Наконец, если положение равновесия асимптотически устойчиво в целом при любых нелинейных функциях из заданного класса, то говорят об абсолютной устойчивости нелинейной системы (2.70). Отметим, что в случае линейной системы положение равновесия устойчиво (асимптотически устойчиво) при любых отклонениях, т.е. устойчиво в целом. Кроме этого следует помнить, что устойчивость линейных систем не зависит от характера внешних воздействий, т.е. в этом плане устойчивость (неустойчивость) линейных систем является ее внутренним свойством.
|