Производная функции, заданной неявно

Функция в окрестности точки обращает уравнение в тождество, т.е.

Дифференцируя это тождество, получaeм , а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно:

Производная функции, заданной неявно:

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям

1) ;

2) частные производные , и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

3) .

Тогда

1) уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию ;

2) функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки , вычисляемые по формулам