Рид – соломон коды

Коды Рида — Соломона (англ. Reed–Solomoncodes) — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида — Соломона, работающие с байтами (октетами).

Код Рида — Соломона был изобретён в 1960 году сотрудниками лаборатории Линкольна Массачуссетского технологического института Ирвином Ридоми Густавом Соломоном. Идея использования этого кода была представлена в статье «PolynomialCodesoverCertainFiniteFields». Эффективные алгоритмы декодирования были предложены в 1969 году Элвином Берлекэмпом и ДжэймсомМесси (алгоритм Берлекэмпа — Мэсси) и в 1977 году Давидом Мандельбаумом (метод, использующий Алгоритм Евклида). Первое применение код Рида — Соломона получил в 1982 году в серийном выпуске компакт-дисков.

Код Рида — Соломона над , исправляющий ошибок, требует проверочных символов и с его помощью исправляются произвольные пакеты ошибок длиной и меньше. Согласно теореме о границе Рейгера, коды Рида — Соломона являются оптимальными с точки зрения соотношения длины пакета и возможности исправления ошибок — используя дополнительных проверочных символов исправляется ошибок (и менее).

Теорема (граница Рейгера). Каждый линейный блоковый код, исправляющий все пакеты длиной и менее, должен содержать, по меньшей мере, проверочных символов.

Код, двойственный коду Рида — Соломона, есть также код Рида-Соломона. Двойственным кодом для циклического кода называется код, порожденный его проверочным многочленом.

Матрица порождает код Рида — Соломона тогда и только тогда когда любой минор матрицы отличен от нуля.

При выкалывании или укорочении кода Рида-Соломона снова получается код Рида — Соломона. Выкалывание — операция, состоящая в удалении одного проверочного символа. Длина кода уменьшается на единицу, размерность сохраняется. Расстояние кода должно уменьшиться на единицу, ибо в противном случае удаленный символ был бы бесполезен. Укорочение - фиксируем произвольный столбец кода и выбираем только те векторы, которые в данном столбце содержат 0. Это множество векторов образует подпространство.

Кодирование с помощью кода Рида — Соломона может быть реализовано двумя способами: систематическим и несистематическим.

При несистематическом кодировании информационное слово умножается на некий неприводимый полином в поле Галуа. Полученное закодированное слово полностью отличается от исходного и для извлечения информационного слова нужно выполнить операцию декодирования и уже потом можно проверить данные на содержание ошибок. Такое кодирование требует большие затраты ресурсов только на извлечение информационных данных, при этом они могут быть без ошибок.

При систематическом кодировании к информационному блоку из символов приписываются проверочных символов, при вычислении каждого проверочного символа используются все символов исходного блока. В этом случае нет затрат ресурсов при извлечении исходного блока, если информационное слово не содержит ошибок, но кодировщик/декодировщик должен выполнить операций сложения и умножения для генерации проверочных символов. Кроме того, так как все операции проводятся в поле Галуа, то сами операции кодирования/декодирования требуют много ресурсов и времени. Быстрый алгоритм декодирования, основанный на быстром преобразовании Фурье, выполняется за время порядка .

При операции кодирования информационный полином умножается на порождающий многочлен. Умножение исходного слова длины на неприводимый полином при систематическом кодировании можно выполнить следующим образом:

· К исходному слову приписываются нулей, получается полином .

· Этот полином делится на порождающий полином , находится остаток , , где — частное.

· Этот остаток и будет корректирующим кодом Рида — Соломона, он приписывается к исходному блоку символов. Полученное кодовое слово .

Кодировщик строится из сдвиговых регистров, сумматоров и умножителей. Сдвиговый регистр состоит из ячеек памяти, в каждой из которых находится один элемент поля Галуа.

Существует и другая процедура кодирования (более практичная и простая). Положим - примитивный элемент поля , и пусть - вектор информационных символов, а значит - информационный многочлен. Тогда вектор есть вектор кода Рида - Соломона, соответствующий информационному вектору . Этот способ кодирования показывает, что для кода РС вообще не нужно знать порождающего многочлена и порождающей матрицы коды, достаточно знать разложениеполя по примитивному элементу и размерность кода (длина кода в этом случае определяется как ). Все дело в том, что за разностью полностью скрывается порождающий многочлен и кодовое расстояние.

Декодировщик, работающий по авторегрессивному спектральному методу декодирования, последовательно выполняет следующие действия:

· Вычисляет синдром ошибки

· Строит полином ошибки

· Находит корни данного полинома

· Определяет характер ошибки

· Исправляет ошибки