Упражнения и задачи. 1) Если каждое из чисел а и b делится на с, то их сумма и разность также делится на с

1) Если каждое из чисел а и b делится на с, то их сумма и разность также делится на с. Доказать.

2) Для любого целого числа b если а делится на с, то и ab делится на с. Доказать.

3) Если то Доказать это.

4) Если а делится на b, то при любом целом и ak делится на bk и ak делится на b. Доказать.

5) Если а делится на b, то при любом целом делится на Доказать.

6) Для любых целых чисел и существует и притом единственное представление числа а в виде где при всех (представление числа а в системе счисления с основанием т). Доказать.

7) Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6. Доказать.

8) Произведение четырех последовательных целых чисел делится на 24. Доказать.

9) Доказать, что делится на 30 для любого целого числа т.

10) Доказать, что:

а) если делится на 3, то а делится на 3 и b делится на 3;

б) если делится на 7, то а и b тоже делятся на 7;

в) если то abc делится на 60.

11) Найти шестизначное число, которое оканчивается на 5 и увеличивается в 4 раза после перестановки этой цифры на первое место.

12) Если пятизначное число делится на 41, то и все числа, полученные путем круговой перестановки цифр этого числа, делятся на 41. Доказать это.

13) Если трехзначное число abc делится на 37, то и числа bca, cab тоже делятся на 37. Доказать.

14) Если делится на то и делится на Доказать.

15) Найти четырехзначное число, которое при делении на 251 и 252 дает в остатке 209 и 202.

16) Вывести признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 15, 25, 125.