Теоретико–методичні основи ознайомлення учнів з найпростішими геометричними фігурами та їх властивостями

Одним із завдань вивчення геометричного матеріалу в початкових класах єознайомлення із геометричними фігурами та їх найпростішими властивостями. У процесі цієї роботи вчитель повинен навчити дітей:

- виділяти, називати і правильно показувати вказану геометричну фігуру;

- правильно зображати фігуру на папері і дошці;

- позначати вказану фігуру за допомогою букв;

- при потребі вимірювати відповідну величину, яка пов’язана з цією фігурою.

- знаходити в оточуючий дійсності предмети, які нагадують дану фігуру.

Про деякі геометричні фігури учні дещо знають ще до школи, то завдання вчителя у дочисловому періоді полягає в тому, щоб він, показуючи відповідні геометричні фігури або використовуючи їхні зображення, з’ясував, якими знаннями про ці фігури володіють діти: правильними чи неправильними. Після цього він повинен розпочати роботу з уточнення, а якщо потрібно, то і з виправлення, систематизації та узагальнення знань учнів.

Найпершою і найпростішою геометричною фігурою є точка, але вона не має визначення навіть у систематичному курсі геометрії, бо, з одного боку, відноситься до неозначуваних понять, а з іншого - в силу надзвичайно високого ступеня абстрактності. Ознайомлюючи дітей з поняттям “точка”, вчитель повинен навчити учнів вичленяти, називати, правильно показувати та зображати на папері і на дошці точку.

При формування первинних уявлень про точку виділяють такі етапи:

1) підготовка дітей до письма цифр і букв, в процесі якої діти ставлять точки на різних лініях, у різних частинах клітинки зошита (поставити точку у середині клітини, на верхній стороні, у верхньому правому куті тощо);

2) використання точок при формуванні уявлень про пряму та криву, коли діти повинні показувати, які точки належать чи не належать відповідній геометричній фігурі (поставити точку на прямій, над прямою, під прямою; провести пряму через одну, дві, три точки; показати точки, які належать прямій, не належать їй, знаходяться над, під тощо);

3) ознайомлення з відрізком, коли на малюнках вони показують точки, які є кінцями відрізка, належать відрізку, знаходяться поза ним тощо;

4) використання уявлень про точку при ознайомленні з многокутником та його елементами (показати вершини трикутника, чотирикутника, многокутника; поставити точку всередині, зовні, на стороні многокутника; побудувати многокутник за зразком чи без нього; позначити вершини многокутника точками та сполучити їх відрізками тощо. Після ознайомлення із колом і кругом формуванню уявлень про точку сприяють наступні вправи: показати або побудувати точку, яка належить колу (кругу), не належить йому; показати центр, радіус, діаметр кола (круга). Аналогічні вправи слід використовувати й при ознайомленні дітей з многогранниками та круглими тілами);

5) ознайомлення з позначеннями точок і інших геометричних фігур буквами латинського алфавіту.

Учні повинні володіти такими знаннями та вміннями, що стосуються прямої:

1) впізнавати пряму лінію, яка накреслена у будь-якому напрямку на площині;

2) відрізняти пряму лінію від кривої та від відрізка;

3) вміти будувати пряму лінію за допомогою лінійки;

4) знаходити аналоги прямої лінії в оточуючій дійсності.

При формуванні уявлень про пряму необхідно широко використовувати прийом матеріалізації та прийом зіставлення і протиставлення геометричних образів. З цією метою використовуються наступні вправи:

- натягування нитки (на урок вчитель приносить нитку і пропонує дітям натягнути її. Це є модель прямої лінії. До дошки притискають натягнуту нитку, проводять вздовж неї слід - це пряма лінія. Ослаблена нитка – це крива);

- розгляд прямих на малюнках;

- перегинання аркуша паперу;

- розрізування аркуша паперу;

- спостереження за лініями на аркуші паперу;

- побудова прямих, коли пряма виникає як слід олівця чи крейди.

Основні властивості прямої та кривої: 1) через одну точку можна провести безліч прямих; 2) через дві точки можна провести єдину пряму; 3) через дві точки можна провести безліч кривих.

Ознайомити учнів з поняттям відрізка прямої можна тоді, коли учні навчаться позначати точки на прямій. Учні повинні володіти такими знаннями та вміннями, що стосуються відрізка

- виділяти, називати і правильно показувати вказану геометричну фігуру;

- правильно зображати фігуру на папері і дошці;

- позначати вказану фігуру за допомогою букв;

- при потребі вимірювати відповідну величину, яка пов’язана з цією фігурою.

- знаходити в оточуючий дійсності предмети, які нагадують дану фігуру.

Аналіз методичної літератури, вивчення досвіду роботи вчителів-новаторів дозволяє зробити висновок про наявність принаймні двох підходів до введення поняття “відрізок”. Для дітей, які мають невисокий рівень розвитку абстрактного мислення, можна запропонувати наступний підхід до введення поняття відрізок. Вчитель пропонує взяти довгу нитку та туго натягнути її. Після цього пропонуємо двом учням перерізати її у двох місцях. Ту частину прямої, яка знаходиться між двома розрізами, будемо називати відрізком. Отримана, таким чином, нова геометрична фігура “відрізок” навіть у своїй назві асоціюється із дією, в результаті якої вона утворилася. При другому підходові вчитель креслить на дошці пряму лінію і пропонує учням поставити на ній дві точки. Після цього пропонуємо школярам витерти ті частини прямої, які знаходиться поза точками. Отже, на дошці залишиться лише та частина прямої, яка знаходиться між точками. Вчитель повідомляє, що ми одержали нову геометричну фігуру, яку в математиці прийнято називати відрізок.

Після ознайомлення учнів із відрізком розпочинається робота з формування в учнів уявлень про нього. З цією метою використовують наступне:

- відшукання в оточуючій дійсності предметів або їх частин, які нагадують відрізок;

- показування сторін многокутників чи ланок ламаної лінії;

- моделювання многокутників;

- побудова відрізків;

- вимірювання довжини відрізків;

- побудова відрізків, які проходять через три точи, які лежать на одній прямій.

У процесі виконання вказаних вправ до свідомості учнів вчитель повинен довести основні відмінності відрізка від прямої, а саме: відрізок обмежений; пряма не обмежена; при побудовах ми зображаємо весь відрізок, але лише частину прямої. Сказане вище дозволяє зробити висновок про те, що формування у школярів уявлень про відрізок проводиться протягом вивчення всього курсу математики у початкових класах.

Многокутники та їх види. У процесі цієї роботи вчитель повинен навчити дітей:

- виділяти, називати і правильно показувати вказану геометричну фігуру;

- правильно зображати фігуру на папері і дошці;

- позначати вказану фігуру за допомогою букв;

- при потребі вимірювати відповідну величину, яка пов’язана з цією фігурою.

- знаходити в оточуючий дійсності предмети, які нагадують дану фігуру.

Формування уявлень дітей про многокутники та їх види проходить принаймні три етапи: а) дошкільний, на якому формування уявлень про многокутники носить безсистемний характер (особливо якщо дитина не відвідує дитячого садочка!); б) шкільний, на якому формування відповідних уявлень має цілеспрямований характер і відбувається спочатку при використанні многокутників як дидактичного матеріалу, а потім у процесі ознайомлення з окремими видами многокутників та їх елементами. Оскільки значна кількість дітей ще до школи знайома з такими фігурами як «кружечок», «квадратик», «трикутник», «прямокутник» тощо, то завдання вчителя у дочислову періоді полягає в тому, щоб виявити наявні у школярів відомості про ці фігури. Після цього слід провести роботу з систематизації, уточнення чи навіть виправлення наявних уявлень. Зробити це можна тоді, коли вчитель пропонує учням дати відповіді на наступні запитання: яку фігуру виставлено на набірному полотні?, виставте на набірне полотно квадрат!, у наборі геометричних фігур знайдіть вказані многокутники тощо. У процесі виконання названих вправ вчителеві необхідно уважно слідкувати за правильністю застосування учнями відповідних термінів: квадрат, трикутник, круг, прямокутник (дітей слід поступово переводити від застосування термінів «квадратик», «кружечок» тощо до вказаних раніше!).

З метою формування уявлень молодших школярів про многокутники використовується така система вправ:

- показування елементів многокутника (при цьому особливу увагу слід звернути на правильність показування, постійно ставлячи перед учнями наступні запитання: як правильно показати вершину?, як правильно показати сторону?, як правильно показати кут?);

- моделювання многокутників із лічильних паличок чи іншого роздаткового матеріалу;

- розфарбовування многокутників;

- побудова многокутників;

- знаходження многокутників на предметах оточуючої дійсності.

При виконанні вказаних вправ вчитель повинен забезпечувати різноманітність використовуваних многокутників за розмірами, матеріалом виготовлення, розміщенням на площині, кольором тощо. Нехтування цією вимогою призводить до формування неправильних уявлень.

Теоретико-методичні основи ознайомлення дітей з кожним новим видом многокутників аналогічні для кожного нового виду многокутника. Саме тому розкриємо їхню сутність на прикладі ознайомлення учнів з трикутником, оскільки він є першим видом многокутників. Систематична робота з формування уявлень дітей про трикутник розпочинається на уроці, де діти вивчають число і цифру 3. Демонструючи школярам трикутник, вчитель проводить з ними бесіду: яку фігуру виставлено на набірному полотні (зображено на малюнку)? – трикутник. Чи можете Ви сказати, чому цю фігуру називають трикутником? – бо у нього три кути. Після цього вчитель демонструє, як правильно слід показувати кути (прикладаючи указку до однієї сторони трикутника, вчитель, не відриваючи її від вершини, повертає її доти, доки вона не суміститься з іншою стороною трикутника, або указкою проводить дужку від однієї сторони трикутника до іншої), сторони (прикладаючи кінець указки до однієї вершини, вчитель проводить нею по стороні трикутника до іншої вершини) і вершини (кінець указки повинен суміщатися з вершиною кута). Скільки сторін у трикутника? – три. Скільки вершин у трикутника? – три. Чи могли б Ви придумати іншу назву для цієї фігури? – тристоронник, тривершинник. Після ознайомлення з трикутником та його елементами розпочинається систематична робота з формування уявлень про нього.

Кути. У процесі цієї роботи вчитель повинен навчити дітей:

- виділяти, називати і правильно показувати вказану геометричну фігуру;

- правильно зображати фігуру на папері і дошці;

- позначати вказану фігуру за допомогою букв;

- при потребі вимірювати відповідну величину, яка пов’язана з цією фігурою.

- знаходити в оточуючий дійсності предмети, які нагадують дану фігуру.

Як відомо, в геометрії термін «кут» застосовують у різних значеннях: 1) у значенні «плоский кут», під яким розуміють частину площини, обмежену двома променями, що виходять із однієї точки; 2) для позначення двогранного кута, під яким розуміють частину простору, яка обмежена двома півплощинами, що мають спільну пряму; 3) для позначення многогранного кута. Цілком зрозуміло, що у початкових класах не можна говорити про жоден із названих кутів, бо учням ще невідомі поняття, через які вони означаються. У зв'язку зі сказаним постає питання про таке трактування поняття «кут», яке б, з одного боку, не суперечило науковому його розумінню, а з іншого – було доступне для сприйняття молодшими школярами.

В курсі математики початкових класів термін «кут» застосовується у розумінні «відірваного кута многокутника». Таке розуміння не суперечить науковому трактуванню поняття плоского кута та дозволяє сформувати в учнів І-ІУ класів правильне уявлення про кут. Сказане обумовлює те, що модель кута з’являється на очах у дітей в результаті відривання одного або й всіх по одному кутів трикутника чи неопуклого п’ятикутника.

Молодші школярі спочатку зустрічаються з моделями довільних кутів, які отримуються в результаті відривання кутів многокутників. При ознайомленні з прямим кутом з’являється модель прямого кута, яка використовується при побудові прямих кутів, при відшуканні прямих кутів многокутників і при визначенні виду чотирикутника. Щободержати модель прямого кута пропонуємо дітям взяти аркуш паперу і зігнути його у довільному напрямку (спочатку цю операцію демонструє вчитель, а потім її має обов’язково виконати кожен учень самостійно!). Після цього вчитель показує, як ще раз слід перегнути аркуш паперу та пропонує виконати цю операцію кожному школяреві самостійно. Виконавши відповідні дії, вчитель пояснює, що кут, який ми отримали, в математиці називають прямим. Пропонуємо дітям порівняти величини прямих кутів, які отримані із різних аркушів паперу (попередньо вчитель демонструє як слід виконувати порівняння). Учні з подивом встановлюють, що всі прямі кути рівні, незважаючи на те, що вони одержані з різних аркушів паперу. Таким чином, практично встановлено: всі прямі кути рівні. Після цього школярі використовують модель прямого кута для відшукання прямих кутів у многокутниках, а пізніше для встановлення виду чотирикутника (прямокутник – не прямокутник) та для побудови прямих кутів.

Для правильного формування у дітей поняття кута вчитель повинен звертати увагу на формування правильних навичок порівняння кутів. Щоб це зробити, вчитель повинен спочатку показати прийом порівняння кутів. Так, для порівняння кутів необхідно спочатку сумістити вершини та по одній стороні кутів (виконання цієї операції спочатку демонструє вчитель, а потім її виконують учні самостійно!). Після цього слід подивитися як проходить друга сторона моделі кута відносно даного кута. Якщо друга сторона моделі проходить через даний кут, то даний кут більший, ніж кут, заданий моделлю (дію демонструє вчитель, а школярі виконують її самостійно!). Якщо ж сторона моделі кута проходить поза даним кутом, то він менший (демонстрацію виконує вчитель, а діти повторюють її самостійно!). Якщо ж співпадуть і другі сторони кутів, то кути рівні (вчитель демонструє цей випадок!). Формування цього уміння важливе тому, що і в подальшому всі кути в курсі математики порівнюються тільки накладанням.

Спочатку всі кути класифікують за однією ознакою «бути прямим кутом». У зв'язку з чим, всі кути поділяють на прямі та не прямі. Для встановлення належності заданого кута до першої чи другої групи спочатку використовують модель прямого кута, а пізніше прямий кут трикутника (дуже корисно, щоб при порівнянні кутів використовувався трикутник, виготовлений із прозорого матеріалу!). Міркування дітей повинні бути приблизно такими: кути, які зображені на малюнку, не прямі тому, що вони не співпадають з моделлю чи не співпадають з прямим кутом трикутника. Після введення понять «гострий кут», «тупий кут» розглядувані кути відносять до гострих і не гострих, до прямих і не прямих, до тупих і не тупих кутів.

Вивчення досвіду роботи вчителів, проведені методичні дослідження свідчать, що з метою особистісної орієнтації навчального процесу слід використовувати для формування уявлень про кути та їх види наступні вправи:

1) на малюнку з допомогою моделі прямого кута відшукайте прямі кути, непрямі кути, гострі кути, тупі кути тощо;

2) побудуйте деякий трикутник з прямим (гострим, тупим) кутом. Покажіть сторони, між якими розміщено прямий (гострий, тупий) кут;

3) побудуйте довільний трикутник. Чи можна розбити його на два трикутника так, щоб: а) вони мали по одному прямому куту; б) не мали прямих кутів;

4) позначте точку. Проведіть із неї два відрізка по 5 см так, щоб між ними був: а) прямий кут; б) тупий кут; в) гострий кут (якщо діти не ознайомлені з термінами «гострий кут», «тупий кут», то слід застосовувати словосполучення: «кут, менший за прямий», «кут, більший за прямий»);

5) у чотирикутнику, зображеному на малюнку № 1, проведіть відрізок так, щоб він розбив чотирикутник на два трикутника, кожний із яких має прямий кут;

6) чи можна многокутник, зображений на малюнку № 2, розбити відрізком на два многокутники так, щоб кожен із них мав: а) по одному прямому куту; б) по два прямих кута?

Малюнок 1.	Малюнок 2.

Формування уявлення про прямокутник та уміння його розпізнавати серед інших геометричних фігур розпочинається після того, як учні ознайомляться із поняттям прямого кута та навчаться відрізняти його від не прямих кутів. З цією метою використовують наступну систему вправ:

1) завдання, в яких потрібно визначити, скільки прямих кутів є у многокутнику (спочатку пропонуються для розгляду многокутники з одним прямим кутом, потім – двома, потім – трьома і нарешті – чотирикутники, у яких чотири прямих кута);

2) вправи, основне призначення яких полягає в тому, щоб учні засвоїли істотні ознаки прямокутника: бути чотирикутником; протилежні сторони рівні; всі кути прямі;

3) завдання на побудову прямокутника з допомогою моделі прямого кута чи прямокутного трикутника;

4) вправи на відшукання прямокутника, серед яких є такі, де слід визначити вид заданого многокутника, виділити прямокутник серед інших многокутників і впізнати прямокутник, який є частиною іншої геометричної фігури;

5) завдання, дидактичним призначенням яких є ознайомлення з квадратом і виділення квадрата як окремого виду многокутника.

Буквені позначення вводяться для того, щоб:

1) ще раз розглянути раніше вивчені геометричні фігури;

2) узагальнити властивості цих фігур;

3) поступово формувати уявлення про математичну мову;

4) коротко та чітко фіксувати результати розв'язування математичних задач;

5) стисло формулювати пояснення і задачі тощо.

Система вивчення геометричного матеріалу передбачає використання: спочатку літерів латинського алфавіту, які однаково пишуться і читаються в українській і латинській мовах, наприклад: А, Е, К, М тощо; пізніше вводяться літери, які однаково пишуться, але по-різному читаються, наприклад: В, С, Р, У тощо; нарешті використовуються букви, які по-різному пишуться та читаються в обох мовах, наприклад: R, S, L, N.

З метою показати учням необхідність у введенні букв для позначення геометричних фігур вчитель проводить бесіду про те, що кожна людина має своє ім’я, по-батькові та прізвище. Так само, для того, щоб відрізняти одну геометричну фігуру від іншої використовують букви. Спочатку показуємо учням як позначаються буквами точки, потім відрізки, ламані, кути, прямі та многокутники. Пояснюючи використання букв для позначення геометричних фігур, слід наголосити, що букви необхідно проставляти так, щоб вони не перетиналися відрізками, щоб було легко зрозуміти, до якої геометричної фігури вони відносяться.

Поняття кола, круга. У процесі цієї роботи вчитель повинен навчити дітей:

- виділяти, називати і правильно показувати вказану геометричну фігуру;

- правильно зображати фігуру на папері і дошці;

- позначати вказану фігуру за допомогою букв;

- при потребі вимірювати відповідну величину, яка пов’язана з цією фігурою.

- знаходити в оточуючий дійсності предмети, які нагадують дану фігуру.

Поняття кола, круга вводиться зважаючи на те, що молодші школярі мають певні уявлення про ці фігури, вчителеві необхідно враховувати той факт, що уявлення про ці фігури, у дітей склалися ще у дошкільний період. Це може обумовлювати їх неправильність чи неточність і вони можуть майже не розрізняти відмінностей між колом і кругом. Саме це спричиняє необхідність у виправленні чи уточненні неправильних уявлень.

Ознайомлення учнів з колом і кругом слід провести так, щоб показати школярам істотні відмінності між цими фігурами. Для цього вчитель проводить бесіду: що ми використовували для побудови прямих ліній чи її відрізків? – лінійку. А чи можете Ви сказати, який прилад використовується для побудови кола? – якщо діти не зможуть дати відповіді на поставлене запитання, то вчитель показує їм циркуль і демонструє, як його використовують для побудови кола. У момент демонстрації роботи циркуля (коли ще не все коло проведене) вчитель наголошує, що одна ніжка циркуля стоїть нерухомо в одній і тій же самій точці, яку називають центром кола, а інша ніжка рухається, викреслюючи лінію, яку називають колом. Частина аркуша паперу, яка обмежена колом, є кругом.

Для того, щоб учні зрозуміли істотні відмінності між колом і кругом, необхідно використати прийом матеріалізації геометричних образів. З цією метою вчитель повинен продемонструвати школярам обруч, як образ кола, і зріз дерева, як образ круга. Сутність використання прийому зіставлення і протиставлення геометричних образів полягає в тому, щоб продемонструвати дітям відмінності між кругом і многокутником. Зробити це можна з допомогою такою бесіди: що є межею многокутника? – замкнена ламана лінія. Що є межею круга? – коло. Чим ще відрізняється круг від многокутника? – у многокутника є кути. Для наочності цього висновку можна продемонструвати як круг може котитися по столу, а многокутник – ні. Спостереження за роботою вчителів свідчать, що досить часто вони не слідкують за правильністю використання у своїй мові термінів «коло», «круг». Це спричиняє неправильне усвідомлення учнями сутності відповідних понять. З метою реалізації практичної спрямованості курсу математики початкових класів доцільно ознайомити дітей з різними способами побудови кола: 1) з допомогою циркуля; 2) з допомогою шнура; 3) з допомогою планки.

Після цього ознайомлюємо учнів з іншими поняттями, які пов’язані з колом і кругом. Щоб ознайомити учнів з радіусом кола, пропонуємо поставити на колі довільну точку та сполучити її з центром кола. Побудувавши кілька різних радіусів, пропонуємо учням порівняти їх довжини. За допомогою таких практичних вправ діти переконаються, що всі радіуси кола мають однакову довжину. Аналогічно вводяться поняття діаметра і хорди.

Вправи за допомогою яких формуються уявлення дітей про коло і круг наступні:

1) завдання на визначення точок, які належать чи не належать колу чи кругу, наприклад: назвіть (покажіть) точки, які належать (не належать) колу (кругу), не належать ні колу, ні кругу;

2) вправи на побудову кола;

3) завдання, основне призначення яких полягає в тому, щоб відшукати коло (круг) серед інших геометричних фігур.

У початкових класах учнів слід ознайомити з геометричними тілами: куб, прямокутний паралелепіпед, піраміда, циліндр, конус, куля. Школярі повинні навчитися впізнавати вказані геометричні тіла, знаходити їх на предметах оточуючої дійсності та на малюнках. Теоретико-методичні основи цієї роботи на мають принципових відмінностей від ознайомлення із іншими геометричними фігурами.