Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду⇐ ПредыдущаяСтр 26 из 26 Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид: Квадратичная часть этого уравнения - это квадратичная форма Матрица квадратичной формы: В каноническом уравнении матрица квадратичной части должно быть диагональной. Нам известно, что существует ортогональное преобразование координат такое, что матрица квадратичной формы в новых координатах имеет диагональный вид. Новый базис образуется из собственных векторов матрицы Итак, для того чтоб привести общее уравнение к каноническому виду нужно · найти ортогональный базис из собственных векторов матрицы; · перейти к новой системе координат, в которой матрица квадратичной части является диагональной; · осуществить параллельный перенос начала координат таким образом, чтобы уравнение приняло канонический вид (например, в центр вершину поверхности). Итак, схема приведения общего уравнения поверхности к каноническому виду такая же как и для кривой. Но есть некоторые отличия, например, когда собственное число матрицы квадратичной формы имеет кратность больше 1. Разберем на примере. Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности Найти каноническую систему координат. Выписываем матрицу квадратичной части: Характеристический многочлен этой матрицы: Его корни, собственные числа матрицы : Ищем собственные векторы. Для собственный вектор находится из системы уравнений Матрица этой системы: Итак, собственный вектор имеет направление Нормируем его (делим на длину) и берем в качестве первого нового базисного вектора Для собственные векторы находятся из системы уравнений Матрица этой системы: Итак, собственные векторы, соответствующие собственному числу 0, образуют двумерный подпространство, ортогональный вектору Выберем какой-нибудь вектор из этого подпространства, например нормируем его (делим на длину) и берем в качестве второго нового базисного вектора Третий базисный вектор можно найти как он будет принадлежать подпространства собственных векторов для кроме того образуют ортонормированный положительно ориентированный базис. Итак, Переходим к новой системе координат. Напомним, что старые координаты связаны с новыми следующим образом: где - матрица перехода к новому базису, ее столбиками есть координаты новых базисных векторов в старом базисе. Преобразование координат Подставляем эти выражения в уравнение поверхности. В квадратичную часть подставлять не нужно, по известной теореме в базисе из собственных векторов матрица квадратичной части имеет диагональный вид, где диагонали стоят собственные числа. Нужно подставить эти выражения только в линейную часть: Это уравнение параболического цилиндра, но еще не каноническое. Нам нужно сделать еще оборот вокруг оси так как в плоскости мы выбирали базисные векторы произвольным образом, а они оказались не каноническими. Вращение вокруг оси задается матрицей: Итак, нам нужно найти угол , на который мы должны сделать оборот. В общем случае это делается следующим образом. Мы имеем Итак, В нашем случае Итак, После последующего преобразования координат имеем Делаем параллельный перенос и получаем в новой системе координат каноническое уравнение параболического цилиндра: Теперь нужно выписать общее преобразование координат, то есть выразить координаты через Напомним, что обратная ортогональной матрица совпадает с транспонированной. Имеем Итак, это превращение дает нам каноническую систему координат: ее начало находится в точке с координатами , базисные векторы новых координатных осей
|