Управляемость и наблюдаемость

Пример 8. Пусть объект управления третьего порядка задан своей структурной схемой (рис.20).

Рис.20

Особенность данного объекта в том, что его передаточная фун­кция имеет равные друг другу нуль и полюс s=-a.

Если сократить операторы (р + а) в числителе и в знаменате­ле, то соответствующее вырожденное уравнение будет характери­зовать движение объекта только при нулевых начальных условиях. Если начальные условия ненулевые, то сокращение недопустимо, так как при этом будет утрачена информация о собственном движении объекта в звене с передаточной функцией 1/(р + а).

Покажем, что такая особеность объекта приводит к неполной его управляемости.

Запишем уравнения объекта управления в нормальной форме, т.е.

Отсюда находим собственную матрицу, матрицу управления и их произведения:

имеет миноры:

Следовательно, объект не полностью управляем.

Исследуем тот же объект на наблюдаемость, учитывая, что

Матрица наблюдаемости

имеет определитель

Следовательно, объект полностью наблюдаем при . Если переставить местами первое и третье звенья в структурной схеме, то выводы об управляемости и наблюдаемости будут противопо­ложными.

Наблюдатель полного порядка

Пример 9. Синтезировать наблюдатель полного порядка для объекта, уравнения которого

; : .

В данном случае

.

Порядок уравнений объекта управления и наблюдателя п = 2, наблюдаемая величина z -скаляр (m = 1).

Пользуясь уравнением (39), записываем и преобразуем иско­мые уравнения наблюдателя полного порядка в векторно-матрич- ном и обычном виде:

,

По последним уравнениям составляем структурную схему на-
блюдателя совместно с объектом (рис. 22

Рис.22

Характеристическое уравнение наблюдателя det [ s I -A+KC ]=0 после преобразования имеет вид и позволяет найти k ₁ и k ₂ по желаемым корням.