Метод конечных элементов

Лекции 10-12

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов

И вот, наконец, мы подошли к главной цели этого параграфа: обсуждению метода конечных элементов (МКЭ). Сразу следует сказать, что МКЭ представляет собой вариант метода Бубнова-Галеркина. Особенность МКЭ заключается в своеобразном выборе системы аппроксимирующих функций.

В предыдущем пункте было показано, что метод Бубнова-Галеркина дает наилучшие результаты. Однако метод этот достаточно трудоемок, поскольку требует вычисления интегралов. В рассмотренном примере это интегралы вида: и .

При решении не одномерных, а двух- и трехмерных задач трудоемкость вычисления таких интегралов многократно возрастает. Дело в том, что интегралы эти придется вычислять по всей области решения. А эта область может представлять собой фигуру очень сложной формы. Кроме того, большие сложности будут с выбором аппроксимирующих функций, которые, как отмечалось в самом начале этого раздела, должны удовлетворять заданным граничным условиям. Граница же двумерной области может быть кривой достаточно сложной формы.

Так вот, именно принятый в МКЭ выбор аппроксимирующих функций позволяет очень просто преодолеть обе эти сложности: 1) вычисление интегралов по области решения произвольной формы; 2) удовлетворение решения граничным условиям.

Сначала рассмотрим детально конечно-элементный подход на нашем примере одномерной задачи (1)

Область решения (отрезок [0,1]) разбивается на отрезки (см рис.14). Эти отрезки и называются конечными элементами (на рисунке они пронумерованы цифрами в кружках). Сразу отметим, что размеры этих конечных элементов могут быть произвольными. В отличие от метода конечных разностей, в методе конечных элементов неравномерность сетки разбиения не приводит к усложнению вычислений. Точки на границах конечных элементов называются узловыми точками или узлами.

Теперь, пожалуй, самое главное – выбор системы аппроксимирующих функций, которые должны представить приближенное решение в виде:

(33)

Функции эти выбираются следующим образом. Значение функции равно 1 в -том узле и равно 0 во всех остальных узлах. На рис.14 показана одна такая функция . Эта функция изменяется линейно в пределах конечных элементов, примыкающих к 3-му узлу и тождественно равна нулю на всех остальных конечных элементах.

Отметим, что при таком выборе функций , коэффициенты разложения (33) имеют совершенно ясный смысл: ‑ это значение приближенного решения в -том узле.

На рис.15 показано 5 аппроксимирующих функций , которым соответствуют пять неизвестных коэффициентов . Однако, из граничных условий сразу следует . Остается определить три неизвестных коэффициента .

Теперь, после этих предварительных замечаний, можно приступить к построению конечно-элементных уравнений. Поскольку, как было объявлено выше, МКЭ является частным случаем метода Бубнова-Галеркина, то эти уравнения должны следовать из уравнений взвешенных невязок (32):

(34)

Однако, согласно (33), , поскольку все функции кусочно-линейные, а, значит, их вторые производные равны нулю.

Возникает впечатление, что кусочно-линейные функции нельзя использовать для уравнения (1). Чтобы вторая производная не оказалась тождественным нулем, надо использовать хотя бы квадратичные функции. Это действительно возможный путь решения, к которому мы еще вернемся.

Однако, функции, изображенные на рис.15, выглядят очень соблазнительно из-за своей простоты. Кроме того, ломаной линией, как известно, можно с высокой точностью отобразить любую непрерывную кривую. Поэтому было бы неплохо все-таки найти способ использовать для приближенного решения именно эти функции.

Такой способ действительно имеется. Заключается он в применении метода Бубнова-Галеркина в так называемой ослабленной формулировке (см [5]). Для одномерной задачи эта процедура предельно проста. Преобразуем уравнения невязок (34), выполняя интегрирование по частям:

(35)

Теперь в (35) можно подставить .

(36)

Систему уравнений взвешенных невязок (36), как обычно, представим в матричном виде:

, (36)

где

(37)

Здесь следует обратить внимание на первое слагаемое . Очевидно, что, поскольку на концах отрезка только функции и не равны нулю, то при . А первая и последняя компоненты этого вектора:

Еще одно важное замечание по поводу этого слагаемого. Очевидно, пока система (36) не решена, нам неизвестно ни , ни, естественно, . Следовательно, первая и последняя компоненты этого вектора нам неизвестны. Однако это не мешает решению системы (36). Вспомним, что из граничных условий уже известны значения и . Поэтому в системе (36) можно отбросить первое и последнее уравнения, а из оставшейся системы трех уравнений найти три неизвестных . Следует отметить, что первое и последнее уравнения (36), хотя и не понадобились при нахождении неизвестных , могут принести пользу. Подставив найденные значения в первую и последнюю строчки (36), получим значения на левом и правом краях. Обычно эти значения представляют практический интерес. Так если задача (1) рассматривается как задача изгиба балки, то эти производные есть не что иное, как реакции в опорах. А если это задача о распределении температуры в стержне, то эти производные представляют потоки тепла через торцы стержня.

Теперь осталось вычислить значения элементов матрицы и вектора и решить систему (36). На первый взгляд единственная выгода МКЭ по сравнению с обычной схемой метода Бубнова-Галеркина состоит в том, что функции выглядят попроще, чем обычно. Однако это не так. Вся процедура построения матриц разрешающей системы (36) значительно упрощается благодаря несложному, но эффективному приему: матрицы и вычисляются в виде суммы интегралов. А каждый интеграл вычисляется в пределах только одного конечного элемента. То есть

(38)

Рассмотрим особенности структуры матриц элементов на примере матрицы 2-го элемента:

Но, как можно видеть на рис.15, в пределах второго элемента из всех функций не равны нулю только две функции и . Поэтому в матрице не равны нулю только четыре интеграла:

(39)

Не равные нулю элементы расположены на пересечении 2-х и 3-х строк и столбцов, то есть с номерами узлов, принадлежащих этому элементу.

Для вычисления этих интегралов напомним, что функции не равны нулю только в -том узле (см рис.16) и определятся следующим выражением:

(40)

Конечный элемент с произвольным номером изображен на рисунке 17. Как это ясно из рассмотрения 2-го элемента, для -го элемента в матрице ненулевые числа будут находиться на пересечении -х и -х строк и столбцов. Таким образом, для каждого конечного элемента можно вычислить только эти числа:

(41)

Чаще всего именно эти матрицы называют матрицами конечных элементов, а матрицы вида (39) – расширенными матрицами элементов. Заметим что матрица (41) вместе с парой чисел (номера узлов элемента) позволяют легко переписать матрицу (41) в расширенном виде.

Пара чисел

(42)

часто называется индексным вектором. Матрица элемента вместе с индексным вектором фактически представляет собой компактную запись полной (расширенной) матрицы элемента.

Получим общее выражение для матрицы (41) произвольного -го элемента. При вычислении интегралов удобнее перейти к безразмерной координате (см рис.17)

(43)

Тогда на -том элементе

Интегралы, входящие в (41), таким образом:

Таким образом, матрица элемента (41) для нашей задачи имеет вид:

(44)

Если для решения нашей задачи (1) мы выберем одинаковые конечные элементы , то матрицы (41) всех элементов будут одинаковы:

,

а индексные вектора:

Соответствующие расширенные матрицы:

Складывая эти матрицы, в соответствии с (38), получим:

Аналогично и для вектора правых частей (см (37)) интегрирование удобно сначала выполнять по отдельным элементам, а полученные результаты затем сложить:

Например, для элемента № 2:

Для остальных элементов:

Полностью вектор (см (37)):

В развернутом виде система (36), таким образом имеет вид:

Как уже отмечалось выше, значения и известны из граничных условий. Для определения пока неизвестных используем 2-е, 3-е и 4-е уравнения этой системы:

Решение этой системы:

В следующей таблице приведены результаты, полученные по МКЭ с сравнении с результатами, полученными другими методами.

Таблица 7

Как видите, значения искомой функции в узловых точках определены без малейшей погрешности. Сразу следует предупредить, что такая сверхвысокая точность обеспечивается МКЭ только для некоторых, относительно простых видов уравнений.

Рис.18