Тема 1. Взаємне розміщення прямих та площин у просторі. Многогранні кути

ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА

Індивідуальні завдання

МОДУЛЬ А

(2 семестр)

для студентів V курсу

спеціальності 7.04020101 Математика

Полтава — 2015

Тема 1. Взаємне розміщення прямих та площин у просторі. Многогранні кути

1. Знайти відстань від точки М до площини , якщо відстані від неї до точок А і В, що лежать у площині , дорівнюють відповідно 26 см і 30 см, а проекції похилих АМ і ВМ на площину відносяться як 5:9.

2. Відрізок АВ паралельний до площини , А ₁ В ₁ – проекція АВ на площину . Прямокутні трикутники АА ₁ С і ВВ ₁ D рівні, і їх площини перпендикулярні до АВ. Обчислити СD, якщо АВ = 8 см, АС = 5см, А ₁ А = 4 см.

3. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней куба, якщо ребро куба дорівнює а.

4. Знайти найкоротшу відстань між діагоналями куба і діагоналлю грані куба, що її не перетинає, якщо ребро куба дорівнює 1.

5. З точок А і В площини проведено зовні неї паралельні відрізки: АС = 8 см і ВD = 6 см. Пряма, проведена через С і D, перетинає площину в точці Е. Відрізок АВ = 4 см. Знайти відстань ВЕ.

6. На ребрі двогранного кута 120° взято відрізок завдовжки с і з його кінців проведено до нього перпендикуляри, які лежать у різних гранях даного двогранного кута і мають довжини a і b. Знайти довжину відрізка прямої, який сполучає кінці цих перпендикулярів.

7. Гранями паралелепіпеда є ромби, діагоналі яких дорівнюють 3 см і 4 см. У паралелепіпеді є тригранні кути, складені трьома гострими кутами ромбів. Знайти об’єм паралелепіпеда.

8. Один із плоских кутів тригранного кута дорівнює . Двогранні кути, прилеглі до цього плоского кута, дорівнюють і . Знайти два інші плоскі кути.

9. Основа АС рівнобедреного трикутника АВС лежить у площині , його вершина В віддалена від площини на відстань ОВ = 6 см. Обчислити двогранний кут, утворений площиною і площиною трикутника, якщо АС = ВС = 23 см.

10. Визначити величину двогранного кута, якщо відстань від точки, взятої на одній із граней, до ребра удвічі більша, ніж відстань до другої грані.

Тема 2. Призма

11. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 13 см, а діагоналі його бічних граней дорівнюють 4 см і 3 см. Визначити об’єм паралелепіпеда.

12. Основою паралелепіпеда є квадрат. Одна з вершин верхньої основи однаково віддалена від усіх вершин нижньої основи і віддалена від площини цієї основи на відстань, що дорівнює b. Сторона основи дорівнює а. Визначити повну поверхню паралелепіпеда.

13. Найбільша діагональ правильної шестикутної призми дорівнює d і утворює з бічним ребром призми кут 30°. Знайти об’єм призми.

14. Об’єм правильної восьмикутної призми дорівнює 8 м , а її висота дорівнює 2,2 м. Знайти бічну поверхню призми.

15. Через вершини А, С і D прямокутного паралелепіпеда ABCDA B C D проведено площину, яка утворює з площиною основи двогранний кут 60°. Сторони дорівнюють 4 і 3 см. Знайти об’єм паралелепіпеда.

16. Ребро похилого паралелепіпеда дорівнює l. До нього прилягають дві суміжні грані, площі яких дорівнюють m і n , їхні площини утворюють кут 30°. Обчислити об’єм паралелепіпеда.

17. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагональ грані, що містить сторону основи цього трикутника, нахилена до площини основи під кутом . Визначити бічну поверхню призми, якщо радіус кола, описаного навколо даного трикутника, дорівнює R. Обчислити, якщо R = 12 см, = 60º, = 45º.

18. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною b і тупим кутом , причому діагоналі трапеції перпендикулярні до її бічних сторін. Діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм призми. Обчислити, якщо b = 12 см, = 120º, = 45º.

19. В основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут . Діагональ однієї з бічних граней призми нахилена до площини основи під кутом . Визначити об’єм призми. Обчислити, якщо l = 12 см, = 30º, = 45º.

20. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом . Через протилежний катет нижньої основи і вершину кута верхньої основи проведено переріз. Перпендикуляр, проведений з вершин кута нижньої основи до цього перерізу, дорівнює а і утворює з площиною основи кут . Визначити бічну поверхню призми. Обчислити, якщо а =12см, =60º, =30º.