Приложения определенных интегралов к решению

Физических задач

1) Путь, пройденный точкой.

Пусть точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее есть известная функция времени . Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени , равен: .

Пример.

Скорость тела задается формулой м/с. Найти путь, пройденный те-

лом за первые 10 секунд после начала движения.

Решение.

Здесь , тогда

Ответ:

2) Работа силы.

Если переменная сила действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке равна .

Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0,01 м?

Решение.

Так как , где - коэффициент пропорциональности, - сила, растягивающая пружину на м.

Полагая ; , тогда

(дж).

Ответ: дж.

3) Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры.

А В     0 а в х   Рисунок 16

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми: (осью Ох), (см. рис. 16). Считаем, что поверхностная плотность пластинки постоянная, т.е. . Тогда масса всей пластинки находится по формуле: .

Статические моменты относительно координатных осей Ох и Оу находятся по формулам:

; .

А координаты центра тяжести С этой пластинки вычисляются по формулам:

.

Пример.

Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми , (плотность ).

Решение.

у   а а/3 С   0 а/3 а х

Вычислим массу данной пластинки:

, аналогично .

Ответ: .

4) Количество электричества.

Пусть по проводнику течет ток переменной силы , где . Тогда количество электричества Q, протекшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени , вычисляется по формуле:

,

где I - выражено в амперах; t – в секундах.

Рассмотрим пример.

Сила тока I в проводнике меняется со временем по закону . Определить, какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от

Решение.

Ответ: .