Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Правило сложения и правило умножения комбинаций ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Данные правила весьма напоминают алгебру событий, и многие читатели уже ознакомились с пунктом №4 справочного материала Основные формулы комбинаторики, где они изложены в общем виде. Постараюсь повторить принципы максимально кратко: Правило сложения комбинаций 1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом: + + = 3 + 3 + 1 = 7 способами можно выбрать хотя бы один фрукт. То есть, можно взять 1 фрукт (любой из 3-х) ИЛИ какое-нибудь сочетание 2-х фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта). Рассмотрим более основательный пример: Задача 7 Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола? Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары. Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения: способами можно выбрать 2-х юношей; способами можно выбрать 2-х девушек. Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами. Ответ: 123 способа Правило умножения комбинаций: 2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И. Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки? способами можно выбрать 1 юношу; способами можно выбрать 1 девушку. Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: × = 10 × 13 = 130 способами. Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества». То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: 10 × 13 = 130 возможных пар. Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи! Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН? Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить: возможных групп артистов. Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. … Правило умножения комбинаций распространяется и на б о льшее количество множителей. Задача 8 Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5? Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: *** Комбинации будем считать по разрядам – слева направо: В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным. А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: . По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры. Итого, существует: × × 2 = 9 × 10 × 2 = 180 трёхзначных чисел, которые делятся на 5. При этом произведение × × 2 расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц» Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц». Ответ: 180 трехзначных чисел, которые делятся на 5. А теперь…об обещанном комментарии к задаче №5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами. А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека: Задача 9 Сколько существует выигрышных комбинаций из 2-х карт при игре в «очко»? Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения). Краткое решение и ответ в конце урока. Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений. Рассмотренные нами комбинации могут быть с повторениями элементов. Но при решении вероятностных задач мы затрагивать эту ситуацию не будем, поэтому теоретические положения по этим комбинаторным ситуациям рассматривать не будем. Решения и ответы: Задача 2: Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9? Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек: = 24. Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты: Таким образом, из предложенного набора можно составить:
Задача 4: Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты? Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36-ти.
Задача 6: В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Решение: = 23 × 22 = 506 способами. Задача 9: Сколько существует выигрышных комбинаций из 2-х карт при игре в «очко»? Выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения). Решение: × = 4 × 4 = 16 способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»); = способами может быть сдана пара тузов.
|