Задания для самостоятельного выполнения

1. Составить истинностные таблицы следующих формул:

a) Ø(SÉØTÚPÙQ~PÙØ(QÉT))

b) (PÉQ)Ú(PÉQÙP)

c) (PÙØQÉQ)É(PÉQ)

a) PÉQÙR~PÙØQÉØR

2. Упростите:

b) PÙØQÚPÙØRÚQÙRÚQÚR

c) PÙQÙRÚPÙQÙØRÚPÙØQ

d) Ø((PÉQ)Ù(QÉØP))

e) (PÉØQ)ÚØ(PÚQ)

f) Ø(ØPÙØQ)Ú(PÉQ)ÙP

3. Решите уравнения:

a) PÙØ(ØQÉR)=И

a) PÙQÙRÉØPÚQÚØR=Л

b) (PÚQ)Ù(ØPÚØQ)=Л

c) P~PÚQ=И

d) (QÉR)É(PÚQÉPÚR)=Л

e) (PÉQÚR)Ù(ØQÙS)ÙSÙPÉØR=Л

f) (PÉQÚR)Ù(ØQÉS)Ù(SÙPÉØR)ÉQ=Л

4. Решите уравнения:

a) ØPÉ(PÉQ)=PÚØQ

b) P~QÚØP=QÉP

c) (PÉQ)Ú(QÉP)=ØPÙØQ

d) P~Q=QÉ(PÚØQÉP)

e) Ø(PÉQ)=PÙØQ

f) PÉ(QÉR)=PÙRÉØQ

5. Доказать равносильность:

a) (PÚQ)Ù(PÚØQ)ºP

b) PÚ(ØPÙQ) ºPÚQ

c) P~QºØP~ØQ

d) PÉØQºQÉØP

e) PÉ(QÉR) ºPÙQÉR

6. Доказать методом от противного общезначимость формул:

a) ØPÉ(PÉQ)

b) (ØPÉØQ)~(QÉP)

c) PÙQÉR~PÙØRÉØQ

d) PÉ(QÉPÙQ)

e) PÉ(QÉPÙQ)

f) (PÚQ~Q)~(PÉQ)

g) (PÙQ~Q)~(QÉP)

h) (ØPÉP)ÉP

i) (ØPÉQÙØQ)ÉP

7. Запишите формулами алгебры высказываний следующие предложения из школьной математики:

a) a>=0

b) если запись числа заканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится на 5

c) число k делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3

d) число k делится на 2 и на 3 или не делится на 6

e) если число k - положительное и четное, то оно простое или больше 2

f) -2<x<2

g) -3<=a<=5

h) x¹0

i) если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делится пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

j) скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

k) число k делится на 25 тогда и только тогда, когда запись числа k заканчивается на 00, 50 или 75

l) если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны

8. Запишите формулами алгебры высказываний следующие предложения:

a) если формула Е алгебры высказываний является общезначимой, то она является выполнимой

b) если формула Е алгебры высказываний является общезначимой, то она нейтральна или противоречие

c) участник кружка не поймет сообщения, если он не разгадает код

d) p заключено между 3,1415 и 3,1416

e) если студент написал контрольную работу на 5, то либо он был тщательно подготовлен к ней, либо ему помог друг

f) учитель воспитывает не только словом, но и личным примером

g) число 2 является как простым, так и четным

h) (х+2)²=0 тогда и только тогда, когда (х+2)=0, что имеет место только в том случае, х=-2

i) если студент написал все контрольные на 2, то он сдаст и экзамен на 2, разве что он тщательно изучит каждый вопрос курса

9. В школе перешедшей на самообслуживание, четырем старшеклассникам: Андрееву, Костину, Савельеву и Давыдову поручили убрать 7-ой, 8-ой, 9-ый и 10-ый классы. При проверке оказалось, что 10-ый класс убран плохо. Не ушедшие домой ученики сообщили о следующем:

1 Андреев: «Я убрал 9-ый класс, а Савельев – 7-ой».

2 Костин: «Я убрал 9-ый класс, а Андреев – 8-ой».

3 Савельев: «Я убрал 8-ой класс, а Костин – 10-ый».

Давыдов уже ушел домой. В дальнейшем выяснилось, что каждый ученик в одном из двух высказываний говорил правду, а во втором ложь. Какой класс убрал каждый ученик?

10. Пять школьников из пяти различных городов Брянской области прибыли для участия в областной олимпиаде по математике. На вопрос: «Откуда Вы?» каждый дал ответ:

Иванов: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев – из Новозыбкова».

Сидоров: «Я приехал из Клинцов, а Петров – из Трубчевска».

Петров: «Я приехал из Клинцов, а Дмитриев - Дятькова».

Дмитриев: «Я приехал из Новозыбкова, а Ефимов – из Жуковки».

Ефимов: «Я приехал из Жуковки, а Иванов живет в Дятькове».

Откуда проехал каждый из школьников, если одно его утверждение верно, а другое ложно?

11. Семья, состоявшая из отца А, матери В и трех дочерей C, D, E купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:

1 Когда отец А смотреть передачу, то мать В делает то же.

2 Дочери D и E, обе или одна из них, смотрят передачу.

3 Из двух членов семьи – мать В и дочь С – смотрят передачу одна и только одна.

4 Дочери C и D или обе смотрят, или обе не смотрят.

5 Если дочь Е смотрит передачу, то отец А и дочь D делают то же.

Кто из членов семьи в этот вечер смотрит передачу?

12. На вопрос: «кто из трех студентов изучал математическую логику?» получен верный ответ – «Если изучал первый, то изучал и третий, но не верно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал математическую логику?

13. Определите кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:

1 Если первый сдал, то второй сдал.

2 Если второй сдал, то третий сдал или первый не сдал.

3 Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.

4 Если четвертый сдал, то и первый сдал.

14. Известно следующее: если Петя не видел Колю на улице, то либо Коля ходил в кино, либо Петя сказал правду; если Коля не ходил в кино, то Петя не видел Колю на улице, и Коля сказал правду; если Коля сказал правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал. Выясните ходил ли Коля в кино.

15. Четыре студентки, имена которых начинаются буквами A, E, C, P посещают институт по очереди и ведут общий конспект лекций. Необходимо составить график посещения на ближайшую неделю, учитывая, что:

1 Понедельник – день самостоятельной работы на курсе, и в институт не ходит никто, а в субботу необходимо быть всем.

2 С и Р не смогут пойти на занятия во вторник в связи с большой загруженностью в понедельник.

3 Если С выйдет в среду или Р – в четверг, то Е согласится побывать на занятиях в пятницу.

4 Если А не пойдет в ВУЗ в четверг, то Е позволить себе сходить туда в среду.

5 Если А или Р будут в институте в среду, то С сможет пойти в пятницу.

6 Если Р в пятницу вместо института пойдет на свадьбу подруги, то А придется сходить в институт во вторник, а С – в четверг.

16. Четыре друга – Антонов (А), Вехов (В), Сомов (С), Деев (Д) решили провести каникулы в четырех различных городах – Москве, Одессе, Киеве и Ташкенте. Определите, в какой город должен поехать каждый из них, если имеются следующие ограничения:

1. Если А не едет в Москву, то С не едет в Одессу.

2. Если В не едет ни в Москву, ни в Ташкенте, то А едет в Москву.

3. Если С не едет в Ташкент, то В едет в Киев.

4. Если Д не едет в Москву, то В не едет в Москву.

5. Если Д не едет в Одессу, то В не едет в Москву.

17. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи.

1. Клод утверждал, что Жак лжет.

2. Жак обвинял во лжи Дика.

3. Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.

Но следовательно быстро вывел их на чистую воду, не задав им ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?

18. Проанализируйте следующие рассуждения.

(а) Никто не поймет этого сообщения, если кто-нибудь не разгадает кода. Значит имеется кто-то, кто может понять это сообщение, только если разгадает код.

(б) Не существует х, такое что х>0 и x<0. Значит для всякого числа х имеет место х<=0 или x>=0.

(в) Если бы кто-нибудь мог решить эту задачу, то и какой-нибудь математик мог бы. Иванов – математик, а не может ее решить. Значит, задача неразрешима.

(г) Всякий математик может решить задачу, если кто-нибудь может ее решить. Иванов – математик, а не может ее решить. Значит, задача неразрешима.

(д) Всякий, кто может решить задачу, - математик. Иванов не может ее решить. Значит Иванов – не математик.

(е) Всякий, кто может решить задачу – математик. Ни один математик не может решить эту задачу. Значит, она неразрешима.

(ж) Всякий обычный ученик должен иметь возможность понять данный школьный учебник. Ни один обычный ученик не может понять данный школьный учебник. Значит, данный школьный учебник недоступен обычному ученику.

(з) некоторые первокурсники любят всех второкурсников. Ни один первокурсник не любит никого из студентов последнего курса. Следовательно, ни один второкурсник не является студентом последнего курса.

(и) Перья есть только у птицы. Ни одно млекопитающее не является птицей. Значит, все млекопитающие лишены перьев.

(к) имеются прилежные студенты. Ни один студент не лишен способностей. Значит, некоторые студенты, лишенные способностей неприлежны.

(л) Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые наркоманы привлекаются к ответственности. Следовательно, некоторые люди, привлекающиеся к ответственности, не являются торговцами наркотиками.

(м) Ничто плодотворное не легко. Некоторые легкие вещи общедоступны. значит, некоторые общедоступные вещи не плодотворны.

(н) Если какое-нибудь из чисел, лежащее (строго) между 1 и 101, делит 101, то простое число, меньшее 11, делит 101. Ни одно простое число, меньшее 11, не делит 101. Значит, ни одно число между 1 и 101 не делит 101.

(о) Ни один первокурсник не любит второкурсников. Все живущие в общежитии – второкурсники. Следовательно, ни один первокурсник не любит никого из живущих в общежитии.

(п) Всякое рациональное число есть действительное число. Существует рациональное число. Следовательно, существует действительное число.

(р) Всякое целое число есть рациональное число. Всякая дробь есть рациональное число. Значит, всякая дробь есть целое число.

(с) Все целые положительные числа – натуральные. Значит, все натуральные числа – целые положительные.

(т) Все ромбы – параллелограммы. некоторые параллелограммы – прямоугольники. Значит:

(1) Некоторые ромбы – прямоугольники;

(2) Все ромбы – прямоугольники;

(3) Некоторые прямоугольники – ромбы.

Литература

1. Латотин Л.А., Макаренков Ю.А., Николаева В.В., Столяр А.А. Математическая логика. – Минск: «Вышейшая школа». 1991

2. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. – СПб.: 1999.

3. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. – М.: Просвящение,1986.