Виды средних и способы их вычисления

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. Он состоит из нескольких этапов:

1) устанавливается определенный показатель, т.е. обобщающий показатель совокупности, от которого зависит величина средней;

2) определяется математическое выражение для определяющего показателя;

3) производиться замена индивидуальных значений средними величинами;

4) решение уравнения средней.

Основополагающее правило при этом заключается в том, что величины, представляющие собой числитель и знаменатель средней, должны иметь определенный логический смысл.

Средние величины делятся на больших класса:

- степенные средние;

- структурные средние.

К степенным средним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние объединяются общей формулой:

,

- среднее значение исследуемого явления;

m – показатель степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

n – число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды средних:

При m =-1 – средняя гармоническая;

При m = 0 – средняя геометрическая;

При m = 1 – средняя арифметическая;

При m = 2 – средняя квадратическая;

При m = 3 – средняя кубическая.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше m в формуле, тем больше значение средней величины:

.

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажоритарности средних.

В зависимости от представления исходных данных степенные средние могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным и имеет следующий вид:

.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

где x_i - значение (варианта) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

f_i - частота (вес), показывающая сколько раз встречается i – е значение осредняемого признака.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности сохраняется неизменным. Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений:

Она применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

Она применяется в тех случаях, когда известны варианты, имеющие неравновеликие частоты (f).

Технику вычисления средней арифметической величины рассмотрим на примере расчета среднего возраста студентов в группе из 20 человек.

Средний возраст рассчитывается по формуле по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим ряд распределения:

Средняя гармоническая – это величина обратная среднеарифметической.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение x*f, применяется формула средней гармонической взвешенной.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда необходимо сохранить неизменным произвдениее индивидуальных величин.

Средняя геометрическая простая имеет следующий вид:

где - знак произведения, n – число вариантов, периодов.

Средняя геометрическая взвешенная имеет следующий вид:

Средняя квадратическая применяется, когда необходимо рассчитать средний размер признака, выраженный в квадратных единицах измерения.

Средняя квадратическая простая имеет вид:

Средняя квадратическая взвешенная имеет вид:

.

Средняя кубическая применяется, когда необходимо рассчитать средний размер признака, выраженный в кубических единицах измерения.

Средняя кубическая простая имеет вид:

.

Средняя кубическая взвешенная имеет вид:

.

Рассмотрим структурные средние.

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода Мо наиболее часто встречаемое значение признака.

В дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

,

где x_мо - начало модального интервала; модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

i_мо - модальный интервал;

f_мо f_мо-1 f_мо+1 - частота модального, до и послемодального интервалов соответственно.

В случае неравных интервалов применяется следующая формула:

где x_мо - начало модального интервала, модальный интервал – интервал, в котором достигает максимума величина (плотность) – отношение частоты интервала к его величине;

i_мо, i_мо-1, i_мо+1 - величина соответственно модального, до и послемодального интервалов.

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т. п.

Медиана Ме – величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части, т. е. со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находиться в середине упорядоченного ряда.

Для определения медианы в вариационном ряду необходимо вначале найти номер медианы: .

Затем используют накопленные частоты (сумму последовательно сложенных частот между собой).

В дискретном ряду распределения медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В интервальных рядах распределения медианное значение рассчитывается по формуле:

где x_ме - нижняя граница медианного интервала; медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

i_ме - медианный интервал;

- половина от общего числа наблюдений;

S_ме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_ме - число наблюдений в медианном интервале.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значения имеют какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Рассмотрим на примерах расчет моды и медианы.

Пример 1.

Распределение семей города по числу детей характеризуется следующими данными:

Определить моду и медиану.

Наибольшая частота (29 изделий) приходится на семью с 2 детьми. Следовательно, М_о = 2.

Для определения медианы нужно вначале найти номер медианы:

N_ме = =

Затем используют накопленные частоты.

Накапливаем частоты до тех пор, пока накопленная частота не будет равна этому номеру или превысит его.

Следовательно, 10 семей не имеют детей, 36 (10+26) семей имеют не более 1 ребенка, 65 (36+29) не более 2 детей, 82 (65+17) не более 3 детей и т. д. Т. о, медиана данного ряда распределения равна 2 детям в семье, т. е. половина семей имеют до 2 детей, а другая свыше 2-х детей.

М_е = 4 балла.

Пример 2.

Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:

Определите модальное и медианное значение длины пробега за 1 рейс.

Модальным в данном распределении является интервал 40-50 км., так как наибольшее число рейсов (f = 25) находится в этом интервале.

Определим медианный интервал:

N_ме = =

Затем используют накопленные частоты.

Медианным считается интервал 50-60 км., так как в этом интервале находятся номер медианы.

Половина рейсов за месяц были протяженностью до 53 км., а другая половина свыше 53 км.