Интегрирование по частям

Ранее уже упоминалось, что нет единого правила интегрирования произведения функций. Однако есть метод, который позволяет проинтегрировать некоторые виды произведений. Это метод интегрирования по частям. Его формула имеет вид

.

Ещё раз подчеркнем, что изначально все интегралы даны в виде . Структуру для интегрирования по частям вы должны построить сами.

При интегрировании по частям нужно выполнить следующие действия:

1) часть подынтегральной функции обозначить как новую функцию и приготовить заготовку ;

2) то, что осталось от подынтегрального выражения, обозначить как дифференциал второй функции (которая, вообще-то, изначально неизвестна) и найти эту функцию по формуле

.

Методические указания:

1. В заготовках при вычислении функции в неопределенном интеграле берем константу .

2. Если подынтегральная функция является произведением многочлена на тригонометрическую функцию или многочлена на показательную функцию, то выгодно взять за функцию именно многочлен, т.к. он при дифференцировании упрощается. Тригонометрические и показательные функции не упростятся, сколько бы их ни дифференцировали или интегрировали.

3. Если подынтегральная функция содержит какую-то одну из обратных тригонометрических функций или логарифмическую функцию , то выгодно именно их выбрать в качестве функции , т.к. известно, как их дифференцировать.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример 11. Найти интеграл .

Решение.

.

§2. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла возникло задолго до появления понятий производной, первообразной и неопределенного интеграла. Схема введения этого понятия достаточно проста.

Есть функция . Она определена и непрерывна на отрезке .

1. Этот отрезок произвольным образом разбивается на интервалов .

2. На каждом таком интервале произвольно выбирается точка . В ней вычисляется значение функции .

3. Затем строится интегральная сумма .

4. Далее разбиение отрезка равномерно измельчают, при этом количество интервалов возрастает, т.е. .

5. Последовательность разбиений порождает последовательность интегральных сумм . Если эта последовательность стремится к конечному пределу, то он и называется определенным интегралом. Символически это записывается так

.

Вычисление определенного интеграла по определению, т.е. как предел интегральных сумм, задача очень сложная. К счастью, гениальные математики прошлого И.Ньютон и Г.Лейбниц установили связь определенного интеграла с первообразной для функции . Созданная ими формула известна всему образованному человечеству как формула Ньютона-Лейбница. Она имеет вид

.

Из формулы видно, что достаточно найти какую-то одну первообразную функцию для функции . Тогда её приращение и будет равно определенному интегралу.