Билинейные и квадратичные формы

Билинейная форма и ее матрица. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса. Симметричная билинейная форма. Квадратичные формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Закон инерции. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Скалярное произведение. Вещественные и комплексные евклидовы пространства, псевдоевклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Ортогональные и унитарные матрицы. Разложение пространства на прямую сумму подпространств.

Самосопряженные операторы и изометрии. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора. Приводимость эрмитовых и симметричных матриц к диагональному виду. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм. Приведение к каноническому виду уравнения фигур второго порядка.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

Основные свойства групп. Группа преобразований Лоренца.

Б) РЕКОМЕНДУЕМЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Элементы векторной алгебры

2. Прямые и плоскости

3. Кривые и поверхности второго порядка

4. Матрицы и определители

5. Линейные пространства

6. Системы линейных уравнений

7. Линейные операторы

8. Билинейные и квадратичные формы

9. Евклидовы пространства

10. Эрмитовы и унитарные операторы

В) РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

1. Основные виды уравнения прямой.

2. Плоскость и прямая в пространстве.

3. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

4. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Исследование поверхностей.