Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи

Предположим, что значение высказывания “Я лгу” зависит от итерации i. Назовем это высказывание переменным высказыванием.

Назовем начальным условием значение переменного высказывания при i=0.

Если высказывание имеет только одно значение, то такое высказывание мы будем называть постоянным.

Рассмотрим феноменологию парадокса лжеца – то есть, не будем интерпретировать то, как обратная связь преобразует высказывание, а лишь зафиксируем, что на выходе из обратной связи появляется высказывание с противоположным логическим значением. Это может зафиксировать операция отрицания.

Введем следующие обозначения:

ai – обозначение высказывания “Я лгу” на i-той итерации. Его значение может быть И или Л. Ясно, что переменное высказывание может быть представлено как ряд постоянных высказываний классической логики высказываний.

= – обозначение операции ввода начальных данных – присвоения значения высказыванию при i=0. Запись a0=И означает, то, что мы задаем на нулевой итерации значение И. Это интерпретация нашего предположения о том, что высказывание “Я лгу” истинно.

: - обозначение обратной связи, переводящей значение высказывания с i итерации на i+1 итерацию бесконечное число раз. Слева будем записывать обозначение значение на i+1итерации, справа – на i итерации, в результате которой формируется значение на i+1 итерации.

~ - обозначение операции отрицания, преобразующей значение обратной связи на противоположное – Л преобразуется в И, И преобразуется в Л.

Тогда обратную связь парадокса лжеца можно формализовать следующим образом:

a0=И, ai+1: ~ ai

В результате действия обратной связи образуется переменное высказывание или ряд постоянных высказываний:

а0 a1 a2 a3 a4… (1.7.1)

Далее, пользуясь рядом (1.7.1) последовательно запишем значения переменного высказывания, рассчитанные по этому формализму. Таблица истинности из прошлого раздела будет представима в виде ряда значений переменного высказывания или ряда значений атомарных высказываний:

ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ… (1.7.2)

Таким образом, в этой интерпретации логическое значение парадокса лжеца – бесконечное чередование значений, генерируемых обратной связью.

Заметим, что указанное представление можно распространить и на теоретико-множественные парадоксы. Суждение “Множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, принадлежит самому себе” может быть представлено как бесконечная последовательность значений такого рода высказываний.

Структура парадокса в нашей интерпретации – бесконечная последовательность чередующихся логических значений.
Глава 2 Логические ряды и логические фракталы

2.1 Определение логического ряда. Виды рядов.

Введем точное представление о логическом ряде.

Логический ряд – одномерная упорядоченная последовательность логических значений k-значной логики, пронумерованных от 0 до бесконечности.

Ряды бывают сходящиеся, в этом случае значение ряда постоянно при i®¥, периодические – значение устойчиво повторяется, и апериодические – значения, появляющиеся в произвольном порядке.

Аттрактор логического ряда – устойчивая на бесконечность структура значений логического ряда. Может быть: неизменное значение (аттрактор первого рода – унарный кортеж[18]), комбинация значений (аттрактор второго рода – бинарный кортеж, n-ka), апериодичность (аттрактор третьего рода).

Пусть мы задали для данной k-значной логики конечное множество аттракторов. Назовем их детерминированными аттракторами.

Законом будем называть ряд, для которого доказано наличие аттрактора из множества детерминированных аттракторов. Пример закона классической логики дан в разделе 2.3.

Значение высказывания, в случае двухзначной логики, может быть И или Л. В общем случае может быть любое конечное число вариантов значений. В качестве примера логического ряда двузначной логики можно привести ряд, представленный в таблице 1.5.1. Каждый член этого ряда упорядочивается номером. Номер значения фиксируется итерацией логического ряда i. Итерация i меняется от 0 до бесконечности.

Назовем классическим рядом ряд составленный из высказываний классической логики высказываний двухзначной логики.

Назовем рейхенбаховским рядом ряд с тремя возможными значениями – И, Л, Н и составленный из высказываний рейхенбаховской логики высказываний, описанной выше.

Назовем начальным условием значение логического ряда при i=0.

Обозначим специальными терминами частные случаи логических рядов:

Вырожденный ряд – логический ряд, с одинаковыми значениями.

Например:

ИИИИИИИИИИ…. (2.1.1)

Соответственно, в частных случаях, И - вырожденный ряд (ИВ) – ряд с истинными значениями, Л-вырожденный ряд (ЛВ) – ряд с ложными значениями. Вырожденный ряд – пример ряда с аттрактором первого рода.

Вырожденный ряд – пример закона на множестве детерминированных аттракторов с одним элементом – И.

Ряд лжеца – классический логический ряд с регулярно чередующимися друг за другом значениями истинности и ложности. В зависимости от начальных условий, существует два ряда лжеца:

ИЛИЛИЛИЛИЛ… (2.1.2)

ЛИЛИЛИЛИЛИ… (2.1.3)

Мы будем различать И-ряд лжеца (ИРЛ) – ряд при начальном условии И – случай (2.1.2), и Л-ряд лжеца (ЛРЛ) – ряд при начальном условии Л – (2.1.3).

В нашей терминологии ряд лжеца имеет аттрактор второго рода.