Методические рекомендации по выполнению контрольных заданий. I дифференциальные уравнения

I Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0,

которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = φ(x) которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Для дифференциального уравнения n–го порядка

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y^/, y^//, …, y^(n-1))

задача Коши формулируется следующим образом: для заданных начальных условий у₀ = у(х₀), у^/(х₀), …, у^(n-1)(х₀) найти решение уравнения y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y^/, y^//, …, y^(n-1)), удовлетворяющее начальным условиям.

Функция у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n), где С₁, С₂, …, С_n – произвольные постоянные, называется общим решением уравнения F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0, если выполняются два условия:

1) для любых значений С₁, С₂, …, С_n функция у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) является решением дифференциального уравнения F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾)=0;

2) для любой точки М₀(х₀, у₀, , , ) (n + 1)-мерного пространства существуют такие константы , , …, , при которых график решения у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) проходит через точку М₀(х₀, у₀, , , ).

Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим интегралом. Если в общем решении у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) зафиксированы константы С₁, С₂, …, С_n, то у = ψ(х, С₁, С₂, …, С_n) называется частным интегралом. Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее решение или общий интеграл.