Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ТЕОРЕМА ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО





Рассмотрим поле какого-либо вектора , определенного в каждой точке своего поля. Линиями этого вектора называются линии, касательные к которым совпадают с вектором в каждой точке. Линии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора. Условимся проводить через каждую единичную площадку, перпендикулярную линиям , количество линий, равное значению этого вектора в данной точке. Если поле неоднородно, выбирают элементарную площадку dS0, перпендикулярную линиям, настолько малой, чтобы во всех ее точках вектор можно было считать одинаковым (в пределе – бесконечно малой): , где dN – число линии, проведенных через нормальную площадку dS0. Потоком линий вектора через произвольную поверхность S называется число линий вектора, проходящих сквозь эту поверхность (если они проведены по сформулированному выше правилу). Элементарный поток . Выберем элементарную площадку dS, не перпендикулярную линиям вектора , так, чтобы ее пронизывал тот же элементарный поток . Из рис.19 . Следовательно, . Введем новый вектор , где – единичный вектор нормали к площадке dS. Тогда

,

так как a – угол между и (см. рис.19). Поток линий вектора через конечную поверхность S

.

Поток через замкнутую поверхность или полный поток линий вектора

.

В векторе использован единичный вектор внешней нормали. Таким образом, полный поток – алгебраическая величина. Выходящие из замкнутой поверхности линии считаются со знаком плюс ( ), входящие – со знаком минус ( ).

Аналогично линиям напряженности электрического поля вводятся линии вектора смещения.

Поток этих линий через произвольную площадку S

.

Сосчитаем полный поток линий вектора смещения через замкнутую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд Q0, создающий поле (рис.20):

.

Как видим, полный поток линий вектора смещения не зависит от формы поверхности и от того, где внутри нее расположен заряд (рис.21).

Линии вектора пересекают поверхность S нечетное число раз, причем, кроме одного, с попарно противоположными знаками (входят, выходят). Поэтому в поток линий вектора каждая линия войдет один раз со знаком, определяемым ее направлением. Значит, полный поток вектора смещения через любую замкнутую поверхность, охватывающую создающий поле заряд, равен этому заряду: .



Здесь – вектор смещения на элементе поверхности dS (рис.21). Пусть теперь поле создано n зарядами (рис.22). Для каждого из зарядов Q0, попавших внутрь мысленной поверхности S, можно написать , где – вектор смещения поля i-го заряда в точках dS. Для каждого из зарядов, не попавших внутрь этой поверхности (рис.23), (четное число пересечений линий с поверхностью). Суммируя все такие уравнения почленно, имеем:

.

гдеk – число зарядов, охваченных поверхностью S. Иначе .

Вынесем общий для всех членов суммы элемент dS за знак суммирования: . Здесь все векторы относятся к одному элементу поверхности dS. По принципу суперпозиции полей вектор смещения результирующего поля , где n – число всех зарядов, создающих поле в данной точке (а не только охваченных поверхностью). Получаем теорему Гаусса – Остроградского

или .

Полный поток линий вектора смещения через любую (замкнутую) поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Если в поле можно выбрать какую-либо замкнутую поверхность, через которую не равен нулю поток линий соответствующего вектора, эти линии не замкнуты. То, что такую замкнутую поверхность можно выбрать сколь угодно близкой к заряду (и охватывающей его), доказывает, что точки, в которых находятся заряды, – особые точки поля (вспомним, что для этих точек теряют смысл все характеристики поля: ; ; j и т.д.), заряды — его источники, как и предполагалось ранее. Линии напряженности электростатического поля и линии вектора смещения начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности).

Теорема Гаусса – Остроградского во многих случаях позволяет рассчитать вектор смещения в данной точке электрического поля. Для этого надо мысленную поверхность S провести через точку, в которой определяется вектор . Поверхность выбирается так, чтобы, по воз­можности, проще разрешалось уравнение относительно искомого вектора , лучше всего, если на всей поверхности или на конечном числе ее частей вектор постоянен и составляет постоянный угол с нормалью к поверхности. В тех случаях, когда применение теоремы не встречает непреодолимых математических трудностей, рассчитывают вектор , вектор , затем потенциал, т.е. сравнительно просто получают важнейшие характеристики данной точки электростатического поля.

Например, для бесконечной равномерно заряженной плоскости , где – поверхностная плотность зарядов. Для поля плоского конденсатора .








Date: 2015-11-15; view: 65; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.01 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию