Тема 8. Гармонические колебания физического маятника

Физический маятник – это твердое тело, имеющее ось вращения и совершающее колебания под действием тангенциальной составляющей силы тяжести F_t (F_t = mg sin a (рис. 7), где a – отклонение физического маятника от положения равновесия).

Рис. 7

Если физический маятник массой m отклонен от положения равновесия на некоторый угол a, то момент M возвращающей силы F_t:

,

где l – плечо силы F_t, то естьрасстояние от центра масс (точка С) до оси маятника (рис. 7).

В случае малых колебаний физического маятника,то есть для малых углов отклонения маятника от положения равновесия sin a» a и тогда

.

По второму закону Ньютона для вращательного движения твердого тела:

или ,

где I — момент инерции маятника относительно его оси.

Знак минус в последнем уравнении обусловлен тем, что вектора момента возвращающей силы и угла поворота имеют противоположные направления.

Обозначив , получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний физического маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения является функция :

,

где – отклонение физического маятника от положения равновесия в момент времени t;

– амплитудаколебаний;

w ₀ – круговая (циклическая) частота;

(w ₀ t + j₀) – фаза колебаний в момент времени t;

j ₀ – начальная фаза колебаний.

Период малых гармонических колебаний физического маятника:

.