Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі

Мына түрдегі

, і =1,2,3,..., n (1)

системаны сызықтық дифференциалдық теңдеулердің қалыпты системасы дейді. Ал егер , онда сызықтық біртектес қалыпты система деп атаймыз, ондай система

, і=1,2,3,...,n (2)

түрде жазылады. (1) және (2) системаны матрицалық түрде төмендегідей жазып, көрсетеміз:

(3)

мұнда А(х) =

операторын енгізсек, (5.3) системаларды

(4)

(5)

түрінде қысқаша жазуға болады. Сызықтық системаның шешімдерінің қасиеттерін көрсететін кейбір теоремаларды келтіреміз.

Теорема-1. Егер , - сызықтық біртектес системаның шешімі болса, онда - те осы жүйенің шешімі болады.

Теорема-2. Егер бағандары - сызықтық біртектес системаның шешімдері болса, онда олардың қосындысы да осы жүйенің шешімі болады.

Салдар. Егер , сызықтық біртектес системаның шешімдері болса, онда олардың сызықтық комбинациясы

да осы теңдеудің шешімі болады.

Теорема-3. Егер - сызықтық біртектес емес теңдеудің шешімі болса, ал - біртектес системаның шешімі болса, онда векторы системасының шешімі болады.

Дәлеледеуі: Шарт бойынша , L-операторы сызықтық болғандықтан , теорема дәлелденді.

Анықтама 1. векторлары (бағандары) үшін барлығы бірдей нөлге тең болмайтын сандары табылып,

(6)

онда - вектор-бағандары (а,в) интервалында сызықты тәуелді деп аталады. Ал егер (6) тепе-теңдік болғанда ғана орындалса, онда көрсетілген вектор-бағандар системасы сызықты тәуелсіз болады. (6) векторлық тепе-теңдіктің төмендегі n (скалярлық), тепе-теңдікке эквивалентті болатынын байқау қиын емес.

(7)

анақтауышын - векторлар системасының Вронский анықтауышы дейді.

Анықтама 2. Айталық

(8)

сызықтық біртектес системасы берілсін. Мұнда А(х) өлшемі nxn элементтері болатын матрица (5.8) системаның (а,в) интервалында сызықты тәуелсіз болатын n шешімі -ді сызықты біртектес система (8)-дің фундаментальды шешімдер системасы деп атайды.

Теорема-4. Коэффициенттері (а,в) аралығында үзіліссіз болатын (8) сызықтық біртектес системаның фундаментальды шешімдерінің Вронский анықтауышы нольден өзгеше болады.

Теорема-5. D: а<x<b, облысында сызықтық біртектес системасының жалпы шешімі осы системаның фундаментальды шешімдерінің сызықтық комбинациясы болып табылады. (жоғарыдағы теоремалардың дәлелдеу әдісі сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін тұжырымдалған ұқсас теоремалардың дәлелдеу әдісі сияқты)

Бағандары (8) системаның фундаментальды шешімдер системасы болып келетін төмендегі матрицаны осы системаның фундаментальды матрицасы дейді:

фундаментальды матрица мына

(9)

матрицалық теңдеуді қанағаттандыратынын тексеру қиын емес. Егер фундаментальды матрица болса, онда (8) сызықтық біртектес системаның жалпы шешімін төмендегі түрде жазуға болады:

(10)

мұнда - баған матрица.

деп алып, , осыдан

, демек матрицасы Коши матрицасы деп аталады. Сонымен