Анықтама 4

Егер функциясында вектор - функциясын берілген қалыпты системаның кез келген дербес шешімімен ауыстырғанда оның мәні тұрақты с санға тең болса, онда функциясын қалыпты системасының интегралы деп атайды.

Егер функциясы қалыпты системасының интегралы бола тұрып және оның айнымалылары бойынша үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда әрбір дербес шешімнің бойында функциясы тұрақты санға айналатындықтан оның толық дифференциалы d де дербес шешімнің бойында нөлге тең болады, демек

d (8)

Сондай-ақ дербес шешімнің бойында

(9)

(k=1,2,...,n) теңдігі орындалатыны белгілі. Сондықтан (2.8) теңдікті былай жазуға болады.

(10)

Сонымен, егер интегралының барлық аргументтері бойынша дербес туындылары бар болса, онда оның толық дифференциалы

(11)

қалыпты системасының негізінде тепе-теңдікке айналады.

(11) системасының теңдеулер саны (реті) аз болған сайын, оны интегралдау оңайлана береді. Сондықтан системаның ретін төмендетуге тырысады. Біз төменде қалыпты системаның бір интегралы белгілі болса, онда оның ретін бірге кемітуге болатынын көрсетейік.

Айталық, бір интеграл белгілі болсын, демек

(12)

Бұл теңдік -ге қарағанда шешіледі деп жорыйық.

(13)

осыны (11) теңдікке -ң орнына қойып

(14)

системасын айтамыз.

Енді (14) системаның шешімін табудың сәті түсті деп жорысақ, онда

(15)

(15) өрнекті (13) теңдікке қойып,

(16)

теңдігін аламыз. (15) және (16) формулалар (11) системаның шешімін береді. Бірнеше тәуелсіз интегралдары белгілі болса, онда оның ретін сонша бірлікке төмендетуге болатыны шығады.