ДӘРІС 5-7

Дәріс сабақтың құрылымы:

1 Коши есебі. Пикар теоремасы

2 Параметрге және бастапқы шартқа үзіліссіз тәуелді шешілу туралы теорема

3 Туындыға қатысты шешілмеген теңдеу.

4 Ерекше шешімдер туралы түсінік, Клеро және Лагранж теңдеулері

Дәріс сабақтың мазмұны:

(1)

түріндегі теңдеу туындыға қатысты шешілмеген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Ең алдымен осы теңдеудің шешімдерінің бар болуының жеткілікті шарттарын анықтаумен айналысамыз.

Айталық (1) теңдеуді -қа қатысты шешудің сәті түсті деп жорыйық. Онда бір немесе бірнеше, туындыға қатысты шешілген теңдеулер алуымыз мүмкін:

(k =1,2,,..) (2)

Айталық функциялар (k =1,2,..) жазықтықтықта нүктесінің төңірегінде Пикар теоремасының шарттарын қанағаттандырсын. Онда нүктесі арқылы бір-бірден интегралдық қисықтары (1) теңдеудің шешімдері екені белгілі және (k =1,2,..) интегралдық қисығына нүктесінде жүргізілген жанама векторының бағыты мәнімен анықталады. Егер (k =1,2,.) мәндері әр түрлі болса, онда нүктесінен әр түрлі интегралдық қисықтар өтеді. Ал нүктесінен жүргізілген жанама векторлар да әртүрлі болғандықтан (1) теңдеудің белгілі-бір шешімін бөліп алу үшін бастапқы шарттармен бірге шарты қоса берілуге тиіс. Көріп отырғанымыздай y₀^/ мәні қалай болса солай беріле салмайды. мәні

(3)

теңдеуінің түбірі болуға тиіс.

Сөйтіп, (1) теңдеудің шешімінің бар болуы біріншіден, оның –қа қатысты шешілу мүмкіндігімен екіншіден, (2) теңдеудің шешімдерінің бар болуымен байланысты екен.

Теорема 3. Егер центрі () нүктесінде (, F()=0 теңдеудің түбірі) болатын тұйық параллелепипедінде мына шарттар

а) функция F () өзінің дербес тундылары және пен бірге аргументтерінің жиынтығы бойынша үзіліссіз.

б) () 0 орындалса, онда нүктесінің белгілі бір төңірегінде

(4)

шартттарын қанағаттандыратын (1) теңдеудің шешімі бар болады.

Дәлелдеу. Теореманың а) және б) шарттарының негізінде () нүктесінің төңірегінде айқындалмаған функциясының бар және жалғыз болу шарттары орындалады. Оның үстіне, центрі () нүктесінде болатын D₂ тіктөртбұрышы табылып, сол D₂ -да f(x,y) функциясы дербес туындысымен бірге үзіліссізболады.

Демек, бастапқы есебінің сегментінде жалғыз ғана шешімі болады.

Егер (2) теңдеулердің интегралдық қисықтары () нүктесінен өтетін болса және олардың осы нүктеден жүргізілген ортақ жанамасы болса, онда () нүктесінде көрсетілген теореманың шарттары орындалмайды.