Программа курса. Тема 1. «развитие понятия о числе»

Тема 1. «Развитие понятия о числе»

Студент должен:

знать:

· определение действительного числа;

· понятие абсолютной и относительной погрешности приближений;

уметь:

· выполнять с заданной точностью арифметические действия;

· находить приближенные значения числовых выражений.

Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа. Число e. Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Тема 2. «Корни, степени, логарифмы»

Студент должен:

знать:

· понятие корня натуральной степени;

· понятие степени с действительным показателем и ее свойства;

· способы решения иррациональных уравнений;

· определение логарифма числа, свойства логарифма;

· свойства и графики показательной и логарифмической функций;

· способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

уметь:

· решать простейшие иррациональные уравнения;

· строить графики показательных и логарифмических функций с разными основаниями и на них иллюстрировать свойства функций;

· вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств;

· решать несложные показательные и логарифмические уравнения;

· решать несложные показательные и логарифмические неравенства.

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства.Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.

Степенная, показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств, простейших иррациональных уравнений.

Тема 3. «Элементы комбинаторики»

Студент должен:

знать:

· основные понятия комбинаторики;

· формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний;

уметь:

· решать задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний;

· решать задачи на перебор вариантов.

Основные понятия комбинаторики. Правило умножения и формулы для подсчета числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Тема 4. «Прямые, плоскости и углы в пространстве»

Студент должен:

знать:

· основные понятия стереометрии;

· аксиомы стереометрии и следствия из них;

· виды взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве, способы задания плоскости в пространстве;

· основные теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей (без доказательства);

· понятие угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

· понятие расстояния от точки до прямой и до плоскости, расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояния между параллельными плоскостями;

уметь:

· устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;

· применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Тема 5. «Основы тригонометрии»

Студент должен:

знать:

· определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно;

· определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

· основные формулы тригонометрии, перечисленные в программе курса;

· свойства и графики тригонометрических функций;

· понятие обратных тригонометрических функций;

· способы решения простейших тригонометрических уравнений;

уметь:

· строить графики тригонометрических функций;

· преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

· решать простейшие тригонометрические уравнения;

· решать несложные тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Тема 6. «Координаты и векторы»

Студент должен:

знать:

· понятие прямоугольной декартовой системы координат в пространстве;

· формулы расстояния между точками с заданными координатами и координаты середины отрезка;

· уравнение сферы;

· определение вектора, действий над векторами;

· свойства действий над векторами;

· понятие коллинеарных и компланарных векторов;

уметь:

· находить расстояние между точками с заданными координатами и координаты середины отрезка;

· составлять уравнение сферы;

· выполнять действия над векторами;

· раскладывать вектор на составляющие;

· вычислять длину вектора, угол между векторами;

· вычислять скалярное произведение векторов.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тема 7. «Функции, их свойства и графики»

Студент должен:

знать:

· определение числовой функции, способы ее задания;

· простейшие преобразования графиков функций;

· свойства функции, перечисленные в программе курса;

уметь:

· находить область определения функции;

· находить значение функции, заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

· по графику функции устанавливать ее важнейшие свойства (монотонность, ограниченность, четность, периодичность, непрерывность);

· применять геометрические преобразования при построении графиков.

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность, непрерывность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума и экстремумы. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Тема 8. «Многогранники, тела и поверхности вращения»

Студент должен:

знать:

· понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

· определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

· понятие тела вращения и поверхности вращения;

· определение цилиндра, конуса, шара, сферы;

уметь:

· изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;

· строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Тема 9. «Начала математического анализа»

Студент должен:

знать:

· определение числовой последовательности;

· понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

· правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

· уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

· достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

· определение второй производной, ее физический смысл;

· общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

· правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

· определение первообразной;

· таблицу и правила вычисления первообразных;

· понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

· понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

уметь:

· дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

· вычислять значение производной функции в указанной точке;

· находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

· применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

· находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

· находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

· решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

· вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

· вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

· вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

· находить площади криволинейных трапеций.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Тема 10. «Элементы вычислительной геометрии»

Студент должен:

знать:

· понятие объема и площади поверхности многогранника;

· формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей многогранников;

· формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей тел вращения;

уметь:

· находить объем прямой призмы, параллелепипеда, пирамиды;

· находить площади поверхностей призмы, параллелепипеда, пирамиды;

· изображать и вычислять основные элементы прямого кругового цилиндра, конуса, шара;

· вычислять площади осевых сечений тел вращения;

· находить объемы цилиндра, конуса, шара;

· находить площади поверхностей цилиндра, конуса, шара.

Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Тема 11. «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

Студент должен:

знать:

· основные понятия статистики (мода, медиана, размах, среднее арифметическое, частота);

· классическое и статистическое определение вероятности;

уметь:

· оценивать по относительной частоте событие и его вероятность;

· вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

· представлять с помощью таблиц, диаграмм и графиков частотное распределение данных;

· находить моду, медиану, размах, среднее арифметическое совокупности числовых данных.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана, мода, размах. Понятие о задачах математической статистики.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Тема 12. «Уравнения и неравенства»

Студент должен:

знать:

· понятие равносильности уравнений, неравенств, систем;

· основные способы решения рациональных, показательных, логарифмических, простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

· основные способы решения рациональных, показательных, логарифмических неравенств;

уметь:

· решать рациональные, показательные, логарифмические, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

· решать рациональные, несложные показательные, логарифмические неравенства.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.