Предикаты и кванторы

Сложные высказывания образуются не только посредством логических связок, но и с помощью предикатов и кванторов.

Предикат есть высказывание, содержащее одно или несколько индивидных переменных. Например, " есть четное число" или " есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.". В первом предикате есть целочисленное переменное, во втором — переменное, пробегающее множество "человеческих индивидов". Примером предиката, содержащего несколько индивидных переменных, может служить: " есть сын ", " и учатся в одной и той же группе", " делится на ", " меньше " и т.п. Предикаты будем записывать в виде , полагая, что в скобках перечислены все переменные, входящие в данный предикат.

Подставляя вместо каждого переменного, входящего в предикат , конкретное значение, т.е. фиксируя значения , где — некоторые константы с соответствующей областью значений, получаем высказывание, не содержащее переменных. Например, "2 есть четное число", "Исаак Ньютон есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.", "Иванов есть сын Петрова", "5 делится на 7" и т.п. В зависимости от того, истинно или ложно полученное таким образом высказывание, говорят, что предикат выполняется или не выполняется на наборе значений переменных . Предикат, выполняющийся на любом наборе входящих в него переменных, называют тождественно истинным, а предикат, не выполняющийся ни на одном наборе значений входящих в него переменных, — тождественно ложным.

Высказывание из предиката можно получать не только подстановкой значений его переменных, но и посредством кванторов. Вводят два квантора — существования и всеобщности, обозначаемые и соответственно.

Высказывание ("для каждого элемента , принадлежащего множеству , истинно ", или, более коротко, "для всех истинно ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда предикат выполняется для каждого значения переменного .

Высказывание ("существует, или найдется, такой элемент множества , что истинно ", также "для некоторого истинно ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда на некоторых значениях переменного выполняется предикат .